Dénombrement & Probabilités

Exercice 1

Un sac contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules blanches. On tire simultanément et au hasard 3 boules du sac.

1. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
2. Calculer la probabilité des événements suivants :
   1. A « Obtenir trois boules de même couleur ».
   2. B « Obtenir trois boules distinctes deux à deux ».
   3. C « Obtenir trois boules distinctes ».
   4. D « Obtenir au plus deux boules rouges ».
   5. E « Obtenir au moins une boule blanche ».

Exercice 2

Une urne contient 5 boules blanches numérotées : 1, 1, 2, 2, 2. Et trois boules vertes numérotées : 1, 1, 1. Et deux boules rouges numérotées : 1, 2. On tire au hasard successivement et sans remise trois boules.

1. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
2. Calculer la probabilité des événements suivants :
   1. A « La 1ère boule tirée est blanche, la 2ème est blanche et la 3ème est rouge ».
   2. B « Obtenir deux boules blanches et une rouge ».
   3. C « Obtenir trois boules distinctes deux à deux ».
   4. D « La somme de numéros des boules tirées est paire ».
3. Calculer \(P(C \cap D)\) et \(P_D(C)\).

Exercice 3

Un sac contient 3 boules rouges, une boule verte et 5 boules noires. On tire au hasard successivement et avec remise 4 boules du sac.

1. Quel est le nombre de tirages possibles ?
2. Calculer la probabilité des événements suivants :
   1. A « Obtenir deux boules rouges et deux boules noires ».
   2. B « Obtenir trois boules noires exactement ».
   3. C « Obtenir au moins trois boules vertes ».

Exercice 4

Une usine fabrique des lampes en utilisant trois machines A, B et C. La machine A produit 20% des lampes, la machine B produit 30% et la machine C produit 50% des lampes. 5% des lampes produites par A, 4% de celles produites par B et 1% de celles produites par C sont défectueuses.

On choisit au hasard une lampe de la production globale.

1. Quelle est la probabilité que la lampe choisie soit :
   1. Défectueuse et produite par la machine A ?
   2. Défectueuse et produite par la machine B ?
   3. Défectueuse et produite par la machine C ?
2. En déduire la probabilité que cette lampe soit défectueuse.
3. Calculer la probabilité qu'une lampe soit produite par la machine A sachant qu'elle est défectueuse.

Exercice 5

Un sac contient 4 boules numérotées : ①, ①, ①, ①, deux boules numérotées : ②, ② et une boule numérotée : ①. On suppose tous les tirages équiprobables. On tire au hasard deux boules du sac. On considère les événements suivants :

A « Obtenir deux boules de même numéro » et B « La somme des deux boules tirées est ② ».

1. Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A \cap B)\) et \(P(A \cup B)\).
2. \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

Exercice 6

Une urne \(U_1\) contient deux jetons portant le numéro 1 et quatre jetons portant le numéro 2 (les jetons sont indiscernables au toucher). Et une urne \(U_2\) contient trois boules rouges et quatre boules vertes (les boules sont indiscernables au toucher).

On tire au hasard un jeton de l'urne \(U_1\).

1. Calculer la probabilité des événements suivants :

   A « Le jeton tiré porte le numéro 1 » et B « Le jeton tiré porte le numéro 2 ».

2. On considère dans cette question l'expérience aléatoire suivante : on tire un jeton de l'urne \(U_1\) et on marque son numéro.

   ✓ Si le numéro est 1, on tire une seule boule de l'urne \(U_2\).

   ✓ Si le numéro est 2, on tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne \(U_2\).

   On note \(E_n\) l'événement : « tirer exactement \(n\) boules rouges ».

   1. Montrer que \(P(E_1) = \dfrac{11}{21}\) et \(P(E_2) = \dfrac{2}{21}\).
   2. Calculer la probabilité de l'événement A sachant que l'événement \(E_1\) est réalisé.