Terminologie des probabilités
| Terme | Sens |
|---|---|
| Expérience aléatoire | Toute expérience qui admet plus d'un résultat |
| Univers \(\Omega\) | L'ensemble des événements possibles |
| Événement \(A\) | \(A\) est une partie de \(\Omega\) |
| Événement élémentaire | Événement contenant un seul élément |
| \(A \cap B\) | \(A\) et \(B\) sont réalisés simultanément |
| \(A \cup B\) | \(A\) ou \(B\) (ou les deux) est réalisé |
| \(\bar{A}\) | L'événement contraire de \(A\) : \(A \cap \bar{A} = \varnothing\) et \(A \cup \bar{A} = \Omega\) |
| \(A\) et \(B\) incompatibles | \(A \cap B = \varnothing\) |
Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement \(A\) est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
- \(P(\varnothing) = 0\) et \(P(\Omega) = 1\)
- \(0 \leq P(A) \leq 1\) pour tout événement \(A\)
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
- Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
- \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
Si tous les événements élémentaires sont équiprobables :
\(P(A) = \dfrac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\)
Probabilité conditionnelle & indépendance
Soit \(A\) et \(B\) deux événements avec \(P(A) \neq 0\). La probabilité de \(B\) sachant que \(A\) est réalisé :
\(P_A(B) = P\!\left(\dfrac{B}{A}\right) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
Pour \(P(A) \neq 0\) et \(P(B) \neq 0\) :
\(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A)\)
\(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si :
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Soit \(\Omega_1\) et \(\Omega_2\) deux sous-univers tels que \(\Omega_1 \cap \Omega_2 = \varnothing\) et \(\Omega_1 \cup \Omega_2 = \Omega\). Pour tout événement \(A\) :
\(P(A) = P(\Omega_1) \times P_{\Omega_1}(A) + P(\Omega_2) \times P_{\Omega_2}(A)\)
Variable aléatoire
Soit \(X\) une variable aléatoire sur \(\Omega\). Pour déterminer la loi de probabilité de \(X\), on suit deux étapes :
- Déterminer \(X(\Omega) = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) : l'ensemble des valeurs que peut prendre \(X\).
- Calculer les probabilités \(p(X = x_i)\) pour tout \(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\).
| \(x_i\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\ldots\) | \(x_n\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\ldots\) | \(p_n\) |
On vérifie toujours que \(p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1\).
Espérance, variance & écart type
\(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\)
\(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i)^2 \cdot p_i - \left(\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\right)^2\)
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
Loi binomiale
Soit \(p\) la probabilité d'un événement \(A\) dans une expérience aléatoire. On répète cette épreuve \(n\) fois de suite. La variable aléatoire \(X\) qui lie chaque résultat au nombre de fois que \(A\) se réalise s'appelle une variable aléatoire binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).
On a : \(\forall k \in \{0, 1, 2, \ldots, n\}\) :
\(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\)
où \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) est le coefficient binomial.
- \(E(X) = n \times p\)
- \(V(X) = n \times p \times (1-p)\)
On lance une pièce 10 fois. \(X\) = nombre de « pile ». \(X\) suit \(\mathcal{B}(10,\; \frac{1}{2})\).
\(P(X=3) = \binom{10}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^7 = 120 \times \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024} \approx 0{,}117\).
\(E(X) = 10 \times \frac{1}{2} = 5\). \(V(X) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 2{,}5\).
Cardinal d'un ensemble — Quelle formule utiliser ?
Pour calculer le cardinal (le nombre d'éléments) d'un ensemble, il faut d'abord identifier le type de tirage décrit dans l'énoncé. Le choix de la formule dépend de comment on tire les éléments.
- \(n\) : le nombre total d'éléments (par exemple, le nombre de boules dans l'urne)
- \(p\) : le nombre d'éléments choisis (par exemple, le nombre de boules à la main)
| Type de tirage | Formule | Quand l'utiliser ? |
|---|---|---|
| Tirage simultané | \(\displaystyle\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}\) | On tire \(p\) éléments en même temps (ou d'un seul coup). L'ordre ne compte pas. → On utilise la combinaison |
| Tirage successif sans remise | \(\displaystyle A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}\) | On tire les éléments l'un après l'autre, et on ne remet pas l'élément tiré. L'ordre compte. → On utilise l'arrangement |
| Tirage successif avec remise | \(n^p\) | On tire les éléments l'un après l'autre, et on remet l'élément tiré à chaque fois. L'ordre compte. → On utilise \(n^p\) |
- « simultanément », « en même temps », « d'un seul coup », « choisir », « comité », « groupe » → Combinaison \(\binom{n}{p}\)
- « successivement sans remise », « l'un après l'autre sans remettre », « code sans répétition » → Arrangement \(A_n^p\)
- « successivement avec remise », « on remet la boule », « code avec répétition » → \(n^p\)
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire 3 boules.
Cas 1 — Tirage simultané :
On tire les 3 boules en même temps. Combien de tirages possibles ?
\(\text{Card} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\)
Cas 2 — Tirage successif sans remise :
On tire les boules une par une sans remettre. Combien de tirages possibles ?
\(\text{Card} = A_{10}^{3} = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\)
Cas 3 — Tirage successif avec remise :
On tire les boules une par une en remettant la boule à chaque fois. Combien de tirages possibles ?
\(\text{Card} = 10^3 = 1000\)
La combinaison donne toujours un résultat plus petit que l'arrangement, car dans un tirage simultané l'ordre ne compte pas :
\(\binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!}\)
Autrement dit, chaque combinaison correspond à \(p!\) arrangements (les mêmes éléments dans des ordres différents).