Équation différentielle du premier ordre
L'équation différentielle du premier ordre à coefficients constants est de la forme :
\( y' = ay + b \)
où \( a \) et \( b \) sont des constantes réelles (\( a \neq 0 \)).
La solution générale de l'équation \( y' = ay + b \) est :
\( y(x) = \alpha\, e^{ax} - \dfrac{b}{a} \)
où \( \alpha \in \mathbb{R} \) est une constante arbitraire.
Si \( b = 0 \), l'équation devient \( y' = ay \) et la solution est :
\( y(x) = \alpha\, e^{ax} \qquad (\alpha \in \mathbb{R}) \)
Si on impose \( y(x_0) = y_0 \), on détermine la constante \( \alpha \) de manière unique. Il y a alors une seule solution vérifiant la condition initiale.
Résoudre \( y' = 2y - 6 \) avec \( y(0) = 5 \).
Ici \( a = 2 \), \( b = -6 \). Solution générale : \( y(x) = \alpha\,e^{2x} - \dfrac{-6}{2} = \alpha\,e^{2x} + 3 \).
Condition \( y(0) = 5 \) : \( \alpha + 3 = 5 \), donc \( \alpha = 2 \).
Solution : \( y(x) = 2e^{2x} + 3 \).
Équation différentielle du second ordre
L'équation différentielle du second ordre à coefficients constants (homogène) est de la forme :
\( y'' + ay' + by = 0 \)
où \( a \) et \( b \) sont des constantes réelles.
On associe à l'équation différentielle l'équation caractéristique :
\( r^2 + ar + b = 0 \)
On calcule le discriminant : \( \Delta = a^2 - 4b \).
Les trois cas selon le signe de \( \Delta \)
| Signe de \( \Delta \) | Racines de l'éq. caractéristique | Solution générale de \( y'' + ay' + by = 0 \) |
|---|---|---|
| \( \Delta > 0 \) | Deux racines réelles distinctes \( r_1 \) et \( r_2 \) | \( y(x) = \alpha\,e^{r_1 x} + \beta\,e^{r_2 x} \) \( (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 \) |
| \( \Delta = 0 \) | Une racine double réelle \( r \) | \( y(x) = (\alpha x + \beta)\,e^{rx} \) \( (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 \) |
| \( \Delta < 0 \) | Deux racines complexes conjuguées \( r_1 = p - iq \) et \( r_2 = p + iq \) |
\( y(x) = \big(\alpha\cos(qx) + \beta\sin(qx)\big)\,e^{px} \) \( (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 \) |
- Dans le cas \( \Delta < 0 \) : \( p = \dfrac{-a}{2} \) (partie réelle) et \( q = \dfrac{\sqrt{|\Delta|}}{2} \) (partie imaginaire).
- Si \( p = 0 \) (c'est-à-dire \( a = 0 \)), la solution est purement oscillante : \( y(x) = \alpha\cos(qx) + \beta\sin(qx) \).
- Les constantes \( \alpha \) et \( \beta \) sont déterminées par deux conditions initiales : \( y(x_0) = y_0 \) et \( y'(x_0) = y'_0 \).
Résoudre \( y'' - 3y' + 2y = 0 \).
Éq. caractéristique : \( r^2 - 3r + 2 = 0 \). \( \Delta = 9 - 8 = 1 > 0 \). Racines : \( r_1 = 1 \), \( r_2 = 2 \).
Solution : \( y(x) = \alpha\,e^x + \beta\,e^{2x} \).
Résoudre \( y'' - 4y' + 4y = 0 \).
Éq. caractéristique : \( r^2 - 4r + 4 = 0 \). \( \Delta = 0 \). Racine double : \( r = 2 \).
Solution : \( y(x) = (\alpha x + \beta)\,e^{2x} \).
Résoudre \( y'' + 2y' + 5y = 0 \).
Éq. caractéristique : \( r^2 + 2r + 5 = 0 \). \( \Delta = 4 - 20 = -16 < 0 \).
\( p = \dfrac{-2}{2} = -1 \), \( q = \dfrac{\sqrt{16}}{2} = 2 \). Racines : \( r = -1 \pm 2i \).
Solution : \( y(x) = \big(\alpha\cos(2x) + \beta\sin(2x)\big)\,e^{-x} \).