Fonctions exponentielles

Exercice 1

Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les équations suivantes :

1. \( e^{2x} + e^x - 2 = 0 \)
2. \( e^{2x+1} + e^{x+1} - 2e = 0 \)
3. \( e^x - 2e^{-x} + 1 = 0 \)

Exercice 2

Résolvez dans \( \mathbb{R} \) les inéquations suivantes :

1. \( e^{2x} + e^x - 2 < 0 \)
2. \( e^{2x} + 2e^x - 3 \leq 0 \)
3. \( \dfrac{e^x - 1}{e^x - 2} \geq 0 \)

Calculer les limites suivantes :

1. \( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{x} \)
2. \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^2 + x} \)
3. \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \ln x \cdot e^{-x} \)
4. \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{2e^x}{x^2 - e^x} \)
5. \( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} (x^2 - x) e^x \)
6. \( \displaystyle\lim_{x\to 0^+} (2 - x) e^x \)
7. \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x(e^x - 1) \)
8. \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x + x^2}{e^x + 1} \)

Démontrer que la fonction \( f \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \), puis calculer \( f'(x) \) dans chacun des cas suivants :

1. \( f(x) = xe^{\sqrt{x}} \)
2. \( f(x) = e^x \cdot \ln x \)
3. \( f(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x} \)
4. \( f(x) = \ln(e^x + e^{-x}) \)

Déterminer une primitive \( F \) de la fonction \( f \) sur \( I \) :

1. \( f(x) = e^{-x+1} \quad;\quad I = \mathbb{R} \)
2. \( f(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1} \quad;\quad I = \mathbb{R} \)
3. \( f(x) = \dfrac{e^x}{e^{2x} + 1} \quad;\quad I = \mathbb{R} \)
4. \( f(x) = \dfrac{e^x}{(e^x + 1)^2} \quad;\quad I = \mathbb{R} \)
5. \( f(x) = \dfrac{e^x}{e^{2x}} \quad;\quad I = \mathbb{R} \)
6. \( f(x) = \dfrac{e^{2x} + e^x - 1}{e^x - 1} \quad;\quad I = \mathbb{R} \)

Exercice 6

Soit \( g \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( g(x) = (2-x)e^{-x} + 1 \).

1. 1. Calculer \( g'(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
   2. Étudier les variations de la fonction \( g \).
2. En déduire que : \( g(x) > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Soit \( f \) la fonction définie par : \( f(x) = (x-1)e^{-x} + x \).

1. Calculer : \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \) et \( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) \).
2. Étudier les variations de \( f \).
3. 1. Étudier les branches infinies de courbe \( (C_f) \).
   2. Étudier les positions relatives de la courbe \( (C_f) \) et la droite \( (\Delta) \) d'équation \( y = x \).
4. Tracer \( (C_f) \) dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

Exercice 7

Soit \( g \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( g(x) = e^x - 2x + 2 \).

1. Calculer \( g'(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
2. 1. Étudier le signe de \( g'(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \) et en déduire les variations de la fonction \( g \) (le calcul des limites n'est pas demandé).
   2. En déduire que \( g(x) > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Soit \( f \) la fonction définie par : \( f(x) = xe^{-x} + \dfrac{x}{2} + 1 \).

1. 1. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \) et \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x} \) et interpréter le résultat graphiquement.
   2. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) \) et \( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left[f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)\right] \) et interpréter le résultat graphiquement.
   3. Étudier les positions relatives de la courbe \( (C_f) \) et la droite \( (\Delta) \) d'équation : \( y = \dfrac{1}{2}x + 1 \).
2. 1. Montrer que : \( f'(x) = \dfrac{g(x)}{2e^x} \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
   2. Dresser le tableau de variations de \( f \).
3. 1. Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \) dans \( ]-1, 0[ \).
   2. Déterminer l'équation de la tangente \( (T) \) à la courbe \( (C_f) \) au point d'abscisse 0.
4. Calculer \( f''(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), puis déterminer le point d'inflexion de la courbe \( (C_f) \).
5. Tracer \( (C_f) \) dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \). (On prend \( e \approx 2{,}7 \) et \( \frac{2}{e} \approx 0{,}27 \)).

Exercice 8

Soit \( g \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( g(x) = e^x - x \).

1. Étudier les variations de la fonction \( g \).
2. En déduire le signe de \( g(x) \) sur \( \mathbb{R} \).

Soit \( f \) la fonction définie par : \( f(x) = \dfrac{xe^x - 1}{e^x - 1} \).

1. 1. Déterminer \( D_f \) l'ensemble de définition de la fonction \( f \).
   2. Trouver les limites de \( f \) aux bornes des intervalles de l'ensemble de définition \( D_f \).
2. 1. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} [f(x) - x] \) et interpréter le résultat graphiquement.
   2. Étudier le signe de \( f(x) - x \) sur \( \mathbb{R}^* \).
   3. En déduire la position relative de la courbe \( (C_f) \) et la droite \( (\Delta) \) d'équation \( y = x \).
3. Calculer \( f'(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R}^* \), puis dresser le tableau de variations de \( f \).
4. Tracer \( (C_f) \) dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

Exercice 9

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = 1 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{e^x + 1} \).

1. 1. Vérifier que : \( 1 - \dfrac{1}{e^x + 1} = \dfrac{e^x}{e^x + 1} \).
   2. Étudier la parité de \( f \) et interpréter les résultats graphiquement.
2. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \) et \( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left[f(x) - \left(1 - \dfrac{x}{2}\right)\right] \) et interpréter le résultat graphiquement.
3. 1. Calculer \( f'(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), puis étudier les variations de \( f \) sur \( \mathbb{R}^+ \).
   2. En déduire que : \( (\forall x \in \mathbb{R}^+) \;:\; 1 - \dfrac{1}{e^x + 1} \leq \dfrac{x}{2} \).
4. Tracer \( (C_f) \) dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite définie par :

\( \begin{cases} u_0 = 1 \\[4px] u_{n+1} = 1 - \dfrac{1}{e^{u_n} + 1} \end{cases} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \)

1. Montrer par récurrence que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) \;:\; u_n > 0 \).
2. Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) \;:\; u_{n+1} \leq \dfrac{u_n}{2} \) puis en déduire que la suite \( (u_n) \) est décroissante.
3. Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) \;:\; u_n \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \) et déterminer sa limite.