Définition & propriétés de \( e^x \)
La fonction exponentielle népérienne, notée \( e^x \) (ou \( \exp(x) \)), est la fonction réciproque de la fonction \( x \mapsto \ln x \), et qui est définie sur \( \mathbb{R} \).
- \( \forall x \in \mathbb{R},\quad e^x > 0 \)
- \( \ln(e^x) = x \)
- \( \forall x \in \,]0, +\infty[\;:\; e^{\ln x} = x \)
- \( e^x = e^y \iff x = y \)
- \( e^x > e^y \iff x > y \)
- \( e^x = y \iff x = \ln y \quad (y > 0) \)
\( \forall x, y \in \mathbb{R} \) et \( r \in \mathbb{Q} \) :
- \( e^x \times e^y = e^{x+y} \)
- \( (e^x)^r = e^{rx} \)
- \( \dfrac{1}{e^x} = e^{-x} \)
- \( \dfrac{e^x}{e^y} = e^{x-y} \)
Si \( n \) est pair, alors \( (\forall x \in \mathbb{R}^*) \) : \( \ln x^n = n\ln|x| \).
Domaine de définition
| La fonction \( f \) | Son domaine de définition |
|---|---|
| \( f(x) = e^x \) | \( D_f = \mathbb{R} \) |
| \( f(x) = e^{u(x)} \) | \( D_f = \{x \in \mathbb{R} \;/\; x \in D_u\} \) |
La fonction \( e^x \) est définie pour tout \( x \in \mathbb{R} \). Pour \( e^{u(x)} \), le domaine est simplement le domaine de définition de \( u \).
Continuité & dérivabilité
La fonction \( x \mapsto e^x \) est continue sur \( \mathbb{R} \).
Si \( u \) est continue sur \( I \), alors \( x \mapsto e^{u(x)} \) est continue sur \( I \).
La fonction \( x \mapsto e^x \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \) et :
\( (e^x)' = e^x \)
Si \( u \) est dérivable sur un intervalle \( I \), alors la fonction \( x \mapsto e^{u(x)} \) est dérivable sur \( I \) et :
\( \left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \times e^{u(x)} \)
- Dérivée de \( f(x) = e^{3x} \) : \( f'(x) = 3e^{3x} \)
- Dérivée de \( f(x) = e^{x^2+1} \) : \( f'(x) = 2x \cdot e^{x^2+1} \)
- Dérivée de \( f(x) = e^{\sin x} \) : \( f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x} \)
Les limites de référence
1. Limites aux bornes
\( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^x = 0 \)
2. Croissances comparées
\( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty \)
\( n \in \mathbb{N}^* \)
\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^n \cdot e^x = 0 \)
\( n \in \mathbb{N}^* \)
En \( +\infty \) : l'exponentielle croît plus vite que n'importe quelle puissance \( x^n \). On dit que « l'exponentielle l'emporte sur la puissance ».
En \( -\infty \) : \( e^x \) tend vers 0 plus vite que \( x^n \) ne tend vers \( \pm\infty \).
3. Limite usuelle
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1 \)
Représentation graphique
- \( e^x \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
- \( e^0 = 1 \) : la courbe passe par \( (0, 1) \)
- \( e^1 = e \approx 2{,}71 \) : point \( (1, e) \)
- Asymptote horizontale \( y = 0 \) en \( -\infty \)
- La tangente en \( (0, 1) \) a pour pente 1
- La courbe de \( e^x \) est symétrique de celle de \( \ln x \) par rapport à la droite \( y = x \)
Courbe de \( y = e^x \)
Fonction exponentielle de base \( a \)
Soit \( a \in \mathbb{R}^*_+ \setminus \{1\} \). La fonction exponentielle de base \( a \), notée \( a^x \), est la réciproque de \( \log_a \) :
\( \forall x \in \mathbb{R},\quad a^x = e^{x\ln a} \)
\( \log_a(a^x) = x \quad;\quad \forall x \in \,]0, +\infty[\;:\; a^{\log_a x} = x \)
\( \forall x, y \in \mathbb{R} \) et \( r \in \mathbb{Q} \) :
- \( a^x \times a^y = a^{x+y} \)
- \( (a^x)^r = a^{rx} \)
- \( \dfrac{1}{a^x} = a^{-x} \)
- \( \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \)
- \( a^x = a^y \iff x = y \)
- \( a^x = y \iff x = \log_a y \)
| \( a > 1 \) | \( 0 < a < 1 \) |
|---|---|
| \( a^x > a^y \iff x > y \) | \( a^x > a^y \iff x < y \) |
| \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} a^x = +\infty \) | \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} a^x = 0 \) |
| \( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} a^x = 0 \) | \( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} a^x = +\infty \) |
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{a^x - 1}{x} = \ln a \)
- \( (a^x)' = a^x \cdot \ln a \)
- \( (\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a} \quad \forall x \in \,]0, +\infty[ \)