Fonctions logarithmiques

Simplifier les expressions suivantes :

1. \( \ln\!\left(3 - \sqrt{3}\right) + \ln\!\left(3 + \sqrt{3}\right) \)
2. \( \ln e^3 - \ln\dfrac{2}{e} + \ln 2 \)
3. \( 3\ln 2 + \dfrac{1}{2}\ln 9 - 2\ln\!\left(2\sqrt{6}\right) \)

Exercice 2

Résolvez dans \( \mathbb{R} \) les équations suivantes :

1. \( \ln x + \ln(3x + 2) = \ln(2x + 3) \)
2. \( \ln(x - 3) + \ln(x + 1) = \ln(x + 7) \)
3. \( 4(\ln x)^2 - 4\ln x - 3 = 0 \)

Exercice 3

Résolvez dans \( \mathbb{R} \) les inéquations suivantes :

1. \( \ln(3 - x) - \ln(x + 1) \leq 0 \)
2. \( 4(\ln x)^2 - 4\ln x - 3 \leq 0 \)

Déterminer le domaine de définition de la fonction \( f \) :

1. \( f(x) = (\ln(x) - 2)\sqrt{4 - x} \)
2. \( f(x) = \sqrt{1 - \ln x} \)
3. \( f(x) = \dfrac{2x}{1 - \ln x} \)

Calculez les limites suivantes :

1. \( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(1+3x)}{x} \)
2. \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x+3)}{x} \)
3. \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(\dfrac{1}{x} + 1\right) \)
4. \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x^2+4x)}{x} \)
5. \( \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\,\ln\!\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right) \)
6. \( \displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{(x+2)\ln x}{x^2 - 1} \)
7. \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x + \left(1 - \dfrac{2}{x}\right)\ln x \)
8. \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x + \left(1 - \dfrac{2}{x}\right)\ln x \)

Démontrer que la fonction \( f \) est dérivable sur \( ]0, +\infty[ \) et expliciter \( f'(x) \) :

1. \( f(x) = x^2(2\ln x - 1) \)
2. \( f(x) = \ln\sqrt{1 + 4x + x^2} \)
3. \( f(x) = \dfrac{x^2\ln x}{1 + x} \)
4. \( f(x) = \dfrac{\ln(1 + x^2)}{x} \)

Exercice 7

Soit \( g \) la fonction définie sur \( ]0, +\infty[ \) par : \( g(x) = x(x-1) + \ln x \).

1. 1. Calculer \( g'(x) \) pour tout \( x \in \,]0, +\infty[ \).
   2. Étudier les variations de la fonction \( g \).
2. Calculer \( g(1) \), puis déduire le signe de \( g(x) \) sur \( ]0, +\infty[ \).

Soit \( f \) la fonction définie sur \( ]0, +\infty[ \) par : \( f(x) = (x-1)^2 + \ln^2(x) \).

1. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) \) et interpréter le résultat géométriquement.
2. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \) et \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x} \), puis étudier la branche infinie de la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).
3. 1. Montrer que : \( \forall x \in \,]0, +\infty[\, : f'(x) = \dfrac{2g(x)}{x} \).
   2. En déduire les variations de \( f \) sur \( D_f \).
4. Tracer \( (C_f) \) dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

Soit \( h \) la restriction de \( f \) à l'intervalle \( I = ]0, 1] \).

1. Montrer que la fonction \( h \) admet une fonction réciproque \( h^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) à déterminer.
2. Tracer \( (C_{h^{-1}}) \) dans le repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

Exercice 8

Soit \( f \) la fonction numérique définie par :

\( \begin{cases} f(x) = x(\ln x)^2 + x & \text{si } x > 0 \\ f(0) = 0 \end{cases} \)

1. Déterminer \( D_f \).
2. 1. Montrer que : \( \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x(\ln x)^2 = 0 \).
   2. En déduire que la fonction \( f \) est continue à droite du point \( x_0 = 0 \).
   3. Étudier la dérivabilité de \( f \) en 0 à droite et interpréter le résultat géométriquement.
3. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \), puis étudier la branche infinie de courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).
4. Calculer \( f'(x) \), puis étudier les variations de la fonction \( f \).
5. Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution \( \alpha \) tel que \( \dfrac{1}{2} < \alpha < 1 \).
6. 1. Déterminer l'équation de la droite \( (\Delta) \) tangente à la courbe \( (C_f) \) au point d'abscisse \( x_0 = 1 \).
   2. Étudier les positions relatives de \( (C_f) \) et la droite \( (\Delta) \).
7. Tracer \( (C_f) \) dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).
8. 1. Montrer que la fonction \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) à déterminer.
   2. Montrer que \( f^{-1} \) est dérivable sur \( J \).
   3. Calculer \( (f^{-1})'(1) \).
   4. Tracer \( (C_{f^{-1}}) \) dans le repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite définie par :

\( \begin{cases} u_0 = \dfrac{1}{e} \\[6px] u_{n+1} = f(u_n) \end{cases} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \)

1. Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}),\quad \dfrac{1}{e} \leq u_n \leq 1 \).
2. Montrer que la suite \( (u_n) \) est croissante.
3. Montrer que la suite \( (u_n) \) est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 9

Soit \( g \) la fonction définie par : \( g(x) = x - \ln x \).

1. Déterminer \( D_g \), puis trouver les limites de \( f \) aux bornes de \( D_g \).
2. Calculer \( g'(x) \) pour tout \( x \in D_g \), et étudier les variations de la fonction \( g \).
3. En déduire que : \( (\forall x \in \,]0, +\infty[)\;:\; \ln x < x \).

Soit \( f \) la fonction numérique définie par :

\( \begin{cases} f(x) = \dfrac{x + \ln x}{x - \ln x} & \text{si } x > 0 \\[6px] f(0) = -1 \end{cases} \)

1. Déterminer \( D_f \).
2. 1. Montrer que la fonction \( f \) est continue en 0 à droite.
   2. Étudier la dérivabilité de \( f \) en 0 à droite et interpréter le résultat géométriquement.
3. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \) et interpréter le résultat géométriquement.
4. Calculer \( f'(x) \) pour tout \( x \in D_f - \{0\} \), et étudier les variations de la fonction \( f \).
5. Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution \( \alpha \) tel que \( \dfrac{1}{2} < \alpha < 1 \). (On prendra \( e \approx 2{,}7 \) et \( \ln 2 \approx 0{,}7 \)).
6. Tracer \( (C_f) \) dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).