Définition du logarithme népérien
Le logarithme népérien, noté \(\ln\), est la primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0,+\infty[\) qui s'annule en 1.
\(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\quad\forall x\in\,]0,+\infty[\)
\(\ln(1)=0\)
Courbe de \( y = \ln(x) \)
Propriétés de la fonction ln
1. Propriétés fondamentales
- \(\ln\) est une fonction définie, continue et dérivable sur \(]0,+\infty[\).
- \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
- \(\ln(x) > \ln(y) \iff x > y\)
- \(\ln(x) = \ln(y) \iff x = y\)
- \(\ln(x) > 0 \iff x > 1\)
- \(\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1\)
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln(x)\) | − | 0 | + |
2. Propriétés algébriques
Pour tous \(x, y \in \,]0, +\infty[\) et \(r \in \mathbb{Q}\) :
- \(\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)\)
- \(\ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y)\)
- \(\ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln(x)\)
- \(\ln(x^r) = r\,\ln(x)\)
- \(\ln(6) = \ln(2 \times 3) = \ln 2 + \ln 3\)
- \(\ln\!\left(\dfrac{3}{5}\right) = \ln 3 - \ln 5\)
- \(\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln 2\)
- \(\ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right) = -\ln 4 = -2\ln 2\)
- \(\ln(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2}\ln(x)\)
3. Le nombre \( e \)
Le nombre \(e\) est l'unique réel tel que :
\(\ln(e) = 1 \qquad e \approx 2{,}71\)
- \(\ln(e^r) = r \quad\) pour tout \(r \in \mathbb{Q}\)
- \(\ln(x) = r \iff x = e^r\)
Les fonctions \(\ln\) et \(\exp\) sont réciproques l'une de l'autre. La relation \(\ln(x) = r \iff x = e^r\) permet de passer de la forme logarithmique à la forme exponentielle et inversement.
Les limites de référence
1. Limites aux bornes
\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\)
2. Croissances comparées
- \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\,\ln(x)=0\)
- \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^n\,\ln(x)=0\qquad n\in\mathbb{N}^*\)
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\)
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0\qquad n\in\mathbb{N}^*\)
3. Limites utiles
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1\)
Les puissances l'emportent toujours sur le logarithme, en \(0^+\) comme en \(+\infty\).
Dérivation
\((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\qquad\text{sur }]0,+\infty[\)
Si \(u\) est dérivable sur \(I\) et ne s'annule pas sur \(I\), alors :
\(\left(\ln|u(x)|\right)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)
- \((\ln(x^2+1))'=\dfrac{2x}{x^2+1}\)
- \((\ln|2x-3|)'=\dfrac{2}{2x-3}\)
- \((\ln(\sin x))'=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)
Fonction logarithme de base a
Soit \(a\) un réel strictement positif et différent de 1 :
\(\log_a(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}\)
- \(\log_a(a)=1\)
- \(\log_e(x)=\ln(x)\)
- \(\log_a(a^r)=r\)
Le logarithme de base 10, noté \(\log\) :
\(\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}\qquad\log(10^r)=r\)
- \(\log(100)=\log(10^2)=2\)
- \(\log_2(8)=\dfrac{\ln8}{\ln2}=\dfrac{3\ln2}{\ln2}=3\)