Chapitre 04

Fonctions primitives

Exercices — Vérification, calcul de primitives et recherche avec condition initiale.

Cours Exercices Quiz
Sommaire des exercices
  1. I Vérification et calcul de primitives Exo 1 – 6
  2. II Tableau de primitives — Fonctions simples Exo 7
  3. III Tableau de primitives — Formes composées Exo 8
Section I

Vérification & calcul de primitives

Exercice 1

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = x^2 + 8x \).

  1. Montrer que la fonction \( F \) est une fonction primitive de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) tel que \( F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + 4x^2 \).
  2. Donner les primitives de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
  3. Donner la primitive \( G \) de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) tels que \( G(1) = 1 \).

Exercice 2

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R}^* \) par : \( f(x) = x + \dfrac{1}{x^2} \).

  1. Montrer que la fonction \( F \) est une fonction primitive de \( f \) sur \( \mathbb{R}^* \) tel que \( F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{x} \).
  2. Donner les primitives de \( f \) sur \( \mathbb{R}^* \).
  3. Donner la primitive \( G \) de \( f \) sur \( \mathbb{R}^* \) tel que \( G(1) = 1 \).

Exercice 3

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = \dfrac{2x + \sqrt{3}}{x^2 + \sqrt{3}\,x + 13} \).

  1. Montrer que la fonction \( F \) est une fonction primitive de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) tel que \( F(x) = \ln(x^2 + \sqrt{3}\,x + 13) \).
  2. Donner les primitives de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
  3. Donner la primitive \( G \) de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) tel que \( G(0) = 1 \).

Exercice 4

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \).

  1. Montrer que la fonction \( f \) admet des primitives sur \( \mathbb{R} \).
  2. Donner les primitives de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
  3. Donner la primitive \( G \) de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) tel que \( G(-1) = 0 \).

Exercice 5

Soit \( f \) la fonction définie sur \( [1, +\infty[ \) par : \( f(x) = x\sqrt{x} - 1 \).

  1. Montrer que la fonction \( f \) admet des primitives sur \( [1, +\infty[ \).
  2. Montrer que \( \forall x \geq 1 \) : \( f(x) = \sqrt{x}\,(x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1) \)... En fait, vérifier que \( F(x) = \dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x} - x \) est une primitive de \( f \).
  3. Donner les primitives de \( f \) sur \( [1, +\infty[ \).

Exercice 6

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \) par : \( f(x) = \dfrac{4x}{(x^2-1)^2} \).

  1. Montrer que : \( f(x) = \dfrac{4x}{(x^2-1)^2} \).
  2. Montrer que la fonction \( f \) admet des primitives sur \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).
  3. Donner les primitives de \( f \) sur \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).
  4. Donner la primitive \( G \) de \( f \) sur \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \) tel que \( G(0) = 1 \).
Exercice 7

Primitives de fonctions simples

Dans chacun des cas suivants, déterminer les fonctions primitives de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( I \) :

La fonction \( f \)L'intervalle \( I \)
\( f(x) = x + 1 \)\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \)\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = 5x^4 + \cos(x) \)\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x^2} \)\( \mathbb{R}^* \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)\( ]0, +\infty[ \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2} \)\( ]0, +\infty[ \)
\( f(x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} \)\( ]0, +\infty[ \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x^3} + \dfrac{1}{x^4} \)\( ]0, +\infty[ \)
Exercice 8

Primitives de formes composées

Dans chacun des cas suivants, déterminer les fonctions primitives de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( I \) :

La fonction \( f \)L'intervalle \( I \)
\( f(x) = (x + 6)^2 \)\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{-(6x+2)}{\sqrt{3x^2 + 2x + 1}} \)\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2} \)\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{1}{(x+1)^3} \)\( ]-1, +\infty[ \)
\( f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x-5}} \)\( ]5, +\infty[ \)
\( f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{(x+1)^3}} + \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} \)\( ]-1, +\infty[ \)
\( f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} \)\( ]1, +\infty[ \)
\( f(x) = 2x(x^2+1)^{\frac{1}{3}} + x(x^2+4)^{\frac{5}{2}} \)\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = \cos(x + 3) \)\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = (2x + 3)\sin(x^2 + 3x + 1) \)\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = \cos^5(x) \)\( \mathbb{R} \)