Définition d'une primitive
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \).
On dit que \( F \) est une fonction primitive de \( f \) sur \( I \) si :
- \( F \) est dérivable sur \( I \)
- \( \forall x \in I, \quad F'(x) = f(x) \)
- \( F(x) = x^3 \) est une primitive de \( f(x) = 3x^2 \) sur \( \mathbb{R} \), car \( F'(x) = 3x^2 = f(x) \).
- \( F(x) = \sin x \) est une primitive de \( f(x) = \cos x \) sur \( \mathbb{R} \), car \( F'(x) = \cos x = f(x) \).
- \( F(x) = e^x \) est une primitive de \( f(x) = e^x \) sur \( \mathbb{R} \), car \( F'(x) = e^x = f(x) \).
Existence & unicité des primitives
Toute fonction continue sur un intervalle \( I \) admet des primitives sur \( I \).
Si \( f \) admet une primitive \( F \) sur un intervalle \( I \), alors toute fonction \( G \) définie sur \( I \) par :
\( G(x) = F(x) + k \quad (k \in \mathbb{R}) \)
est aussi une primitive de \( f \) sur \( I \).
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Si \( F \) et \( G \) sont deux primitives de \( f \) sur \( I \), alors il existe \( k \in \mathbb{R} \) tel que \( G(x) = F(x) + k \).
Soit \( f \) une fonction admettant des primitives sur un intervalle \( I \). Soit \( x_0 \in I \) et \( y_0 \in \mathbb{R} \).
Il existe une seule primitive \( F \) de \( f \) sur \( I \) vérifiant la condition :
\( F(x_0) = y_0 \)
Trouver la primitive \( F \) de \( f(x) = 2x \) telle que \( F(1) = 3 \).
Les primitives de \( 2x \) sont \( F(x) = x^2 + k \). La condition \( F(1) = 3 \) donne \( 1 + k = 3 \), donc \( k = 2 \).
Résultat : \( F(x) = x^2 + 2 \).
Propriété de linéarité
Si \( F \) et \( G \) sont des primitives respectives de \( f \) et \( g \) sur un intervalle \( I \), et si \( k \) est un réel, alors :
- \( (F + G) \) est une primitive de \( (f + g) \) sur \( I \).
- \( (k \cdot F) \) est une primitive de \( (k \cdot f) \) sur \( I \).
La linéarité permet de calculer la primitive d'une somme terme à terme. Par exemple :
Une primitive de \( f(x) = 3x^2 + 2\cos x - \dfrac{1}{x} \) est \( F(x) = x^3 + 2\sin x - \ln|x| + C \).
Tableau des primitives
1. Fonctions de base
| Fonction \( f(x) \) | Primitive \( F(x) + C \) |
|---|---|
| \( a \) (constante) | \( ax \) |
| \( x \) | \( \dfrac{x^2}{2} \) |
| \( x^n \quad (n \neq -1) \) | \( \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \) |
| \( \dfrac{1}{x} \) | \( \ln|x| \) |
| \( \dfrac{1}{x^2} \) | \( \dfrac{-1}{x} \) |
| \( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \) | \( 2\sqrt{x} \) |
| \( e^x \) | \( e^x \) |
| \( \sin x \) | \( -\cos x \) |
| \( \cos x \) | \( \sin x \) |
2. Formes composées \( \small{(U' = dU/dx)} \)
Pour les formes composées, il faut repérer la forme \( U' \cdot f(U) \) pour appliquer la formule correspondante.
| Forme composée | Primitive |
|---|---|
| \( U' \cdot U \) | \( \dfrac{U^2}{2} \) |
| \( U' \cdot U^n \quad (n \neq -1) \) | \( \dfrac{U^{n+1}}{n+1} \) |
| \( \dfrac{U'}{U^2} \) | \( \dfrac{-1}{U} \) |
| \( \dfrac{U'}{\sqrt{U}} \) | \( 2\sqrt{U} \) |
| \( \dfrac{U'}{U} \) | \( \ln|U| \) |
| \( U' \cdot e^U \) | \( e^U \) |
| \( U' \cdot \sin(U) \) | \( -\cos(U) \) |
| \( U' \cdot \cos(U) \) | \( \sin(U) \) |
- Primitive de \( f(x) = 2x \cdot e^{x^2} \) : on a \( U = x^2 \), \( U' = 2x \), forme \( U' \cdot e^U \). Primitive : \( F(x) = e^{x^2} + C \).
- Primitive de \( f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+3} \) : on a \( U = x^2+x+3 \), \( U' = 2x+1 \), forme \( \dfrac{U'}{U} \). Primitive : \( F(x) = \ln|x^2+x+3| + C \).
- Primitive de \( f(x) = \cos(3x) \) : on a \( U = 3x \), \( U' = 3 \). On écrit \( \cos(3x) = \frac{1}{3} \cdot 3\cos(3x) \). Primitive : \( F(x) = \dfrac{1}{3}\sin(3x) + C \).