Chapitre 03

Suites numériques

Exercices — Limites de suites, suites auxiliaires, suites récurrentes et études complètes.

Cours Exercices Quiz
Sommaire des exercices
  1. I Calcul de limites de suites Exo 1
  2. II Suites auxiliaires (arithmétique / géométrique) Exo 2 – 5
  3. III Suite récurrente et étude de fonction Exo 6 – 7
  4. IV Problèmes de synthèse Exo 8 – 10
Exercice 1

Calcul de limites de suites

Déterminer la limite de la suite \( (u_n) \) dans les cas suivants :

  1. \( u_n = \dfrac{5n^2 + 3}{2n - 7} \)
  2. \( u_n = \dfrac{7n + (-1)^n}{5n + 3} \)
  3. \( u_n = \dfrac{\cos(n)}{n^2 + 3} \)
  4. \( u_n = \dfrac{1}{\sqrt{1+n^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2+n^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3+n^2}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{n+n^2}} \)
  5. \( u_n = \dfrac{3^n + 5^n}{3^n + 4 \times 5^n} \)
Section II

Suites auxiliaires (arithmétique / géométrique)

Exercice 2

Considérons la suite \( (u_n) \) définie par : \( u_0 = 10 \) et \( u_{n+1} = \dfrac{17}{19}\,u_n + \dfrac{18}{19} \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).

  1. Montrer que : \( u_n \geq 9 \), pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).
  2. Montrer que \( (u_n) \) est décroissante, puis déduire qu'elle est convergente.
  3. On pose \( v_n = u_n - 9 \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).
    1. Montrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique.
    2. Calculer \( v_n \) en fonction de \( n \).
    3. Déduire \( u_n \) en fonction de \( n \), puis calculer \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \).

Exercice 3

Considérons la suite \( (u_n) \) définie par : \( u_0 = 3 \) et \( u_{n+1} = \dfrac{12 - 8u_n}{4 - 3u_n} \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).

  1. Montrer par récurrence que : \( u_n > 2 \), pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).
  2. On pose : \( v_n = \dfrac{u_n}{u_n - 2} \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).
    1. Montrer que \( (v_n) \) est une suite arithmétique.
    2. Calculer \( v_n \) en fonction de \( n \).
    3. Déduire \( u_n \) en fonction de \( n \), puis calculer \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \).

Exercice 4

Considérons la suite \( (u_n) \) définie par : \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = \dfrac{7u_n + 2}{2u_n + 7} \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).

  1. Montrer par récurrence que : \( u_n \geq 1 \), pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).
  2. Montrer que \( (u_n) \) est décroissante et qu'elle est convergente.
  3. On pose : \( v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 1} \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).
    1. Montrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique.
    2. Calculer \( v_n \) en fonction de \( n \).
    3. Déduire \( u_n \) en fonction de \( n \), puis calculer \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \).

Exercice 5

Soit \( (u_n)_{n\geq 0} \) une suite définie par : \( u_0 = \dfrac{3}{2} \) et \( u_{n+1} = \dfrac{4u_n - 2}{u_n + 1} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

  1. Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad 1 < u_n < 2 \).
  2. Déterminer la monotonie de \( (u_n)_{n\geq 0} \) et déduire que \( (u_n) \) est convergente puis en déduire que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad \dfrac{3}{2} \leq u_n < 2 \).
    1. Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad 0 < 2 - u_{n+1} \leq \dfrac{4}{5}(2 - u_n) \).
    2. Déduire que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad 0 < 2 - u_n \leq \left(\dfrac{4}{5}\right)^n \).
    3. Calculer \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \).
  4. Soit \( (v_n)_{n\geq 0} \) la suite définie par : \( v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n - 1} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
    1. Montrer que \( (v_n)_{n\geq 0} \) est une suite géométrique et écrire \( v_n \) en fonction de \( n \).
    2. En déduire \( u_n \) en fonction de \( n \) et calculer de nouveau \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \).
Section III

Suite récurrente & étude de fonction

Exercice 6

Considérons la fonction \( f \) définie sur \( I = [0, 1] \) par : \( f(x) = \dfrac{4x + 3}{3x + 4} \).

  1. Étudier les variations de \( f \) sur \( I = [0, 1] \).
  2. Montrer que \( f(I) \subset I \).
  3. Étudier la position de \( (C_f) \) avec l'axe \( (\Delta) : y = x \) sur \( I = [0, 1] \).
  4. Considérons la suite numérique \( (u_n) \) définie par : \( u_0 = \dfrac{1}{2} \) et \( u_{n+1} = f(u_n) \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).
    1. Montrer que \( 0 \leq u_n \leq 1 \), pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).
    2. Étudier la monotonie de \( (u_n) \).
    3. Calculer \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \).

Exercice 7

Soit \( f \) la fonction définie sur \( ]-\infty, 3] \) par : \( f(x) = x\sqrt{3 - x} \).

  1. Montrer que pour tout \( x \in \,]-\infty, 3[\, \) : \( f'(x) = \dfrac{3(2-x)}{2\sqrt{3-x}} \).
  2. Déterminer le tableau de variations de \( f \).
  3. Déduire \( f([0, 2]) \).
  4. Étudier le signe de \( f(x) - x \) sur \( D_f \). Et déduire que \( \forall x \in [0, 2] : f(x) \geq x \).
  5. Soit \( (u_n)_{n\geq 0} \) une suite définie par : \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = f(u_n) \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
    1. Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad 0 \leq u_n \leq 2 \).
    2. Déterminer la monotonie de \( (u_n)_{n\geq 0} \) et déduire que \( (u_n) \) est convergente.
    3. Calculer \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \).
Section IV

Problèmes de synthèse

Exercice 8

Soit \( (u_n)_{n\geq 0} \) une suite définie par : \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = \dfrac{2u_n - 9}{u_n - 4} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

  1. Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n < 3 \).
  2. Déterminer la monotonie de \( (u_n)_{n\geq 0} \) et que \( (u_n) \) est convergente. En déduire que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad 2 \leq u_n < 3 \).
  3. Soit \( (t_n)_{n\geq 0} \) la suite définie par : \( t_n = \dfrac{4 - u_n}{u_n - 3} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
    1. Montrer que \( (t_n)_{n\geq 0} \) est une suite arithmétique et écrire \( t_n \) en fonction de \( n \).
    2. Montrer que : \( u_n = \dfrac{1 + 3t_n}{t_n} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). En déduire \( u_n \) en fonction de \( n \) et \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \).
  4. On pose : \( K_n = t_0 + t_1 + \cdots + t_{n-1} \) et \( S_n = \dfrac{1}{u_0 - 3} + \dfrac{1}{u_1 - 3} + \cdots + \dfrac{1}{u_{n-1} - 3} \).
    1. Calculer \( K_n \) en fonction de \( n \).
    2. Montrer que : \( t_n = \dfrac{1}{u_n - 3} - 1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \) et en déduire \( S_n \) en fonction de \( n \).

Exercice 9

Soit \( f \) la fonction définie par : \( f(x) = x + \dfrac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} \).

  1. Déterminer \( D_f \) et calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \).
  2. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) \), donner l'interprétation géométrique du résultat obtenu.
  3. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x} \) et déduire une branche parabolique à \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).
  4. Déterminer la position de \( (C_f) \) par rapport à la droite d'équation \( (y = x) \).
  5. Montrer que pour tout \( x \in \,]0, +\infty[\, \) : \( f'(x) = \dfrac{2x\sqrt{x} - x - 1}{2x\sqrt{x}} \).
  6. Vérifier que : \( \forall x \in \,]0, +\infty[\, \) : \( 2x\sqrt{x} - x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(2x + \sqrt{x} + 1) \).
  7. Déterminer le tableau de variations de \( f \) et déduire \( f([1, +\infty[) \).
  8. Construire la courbe \( (C_f) \).
  9. Soit \( (u_n)_{n\geq 0} \) une suite définie par : \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = f(u_n) \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
    1. Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n \geq 1 \).
    2. Déterminer la monotonie de \( (u_n)_{n\geq 0} \) et déduire que \( (u_n) \) est convergente.
    3. Calculer \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \).

Exercice 10

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R}^+ \) par : \( f(x) = \sqrt{x^2 + |x| + 1} \).

  1. Montrer que : \( D_f = \mathbb{R} \). Étudier la parité de \( f \).
  2. Déterminer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \). Étudier la branche infinie de \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).
  3. Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite en 0. Étudier les variations de \( f \).
  4. Tracer la courbe \( (C_f) \).
  5. Soit \( g \) la restriction de \( f \) sur \( \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[ \).
    1. Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) à déterminer.
    2. Tracer, dans le repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), la courbe représentative de \( g^{-1} \).