Généralités sur les suites
Une suite numérique est une application de l'ensemble des entiers naturels \( \mathbb{N} \) vers l'ensemble des réels \( \mathbb{R} \) :
\( \begin{array}{rcl} \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\ n & \mapsto & u_n \end{array} \)
On note la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ou simplement \( (u_n) \). Le nombre \( u_n \) est appelé le terme général (ou terme d'indice \( n \)) de la suite.
- Formule explicite : \( u_n \) est donné directement en fonction de \( n \). Exemple : \( u_n = 2n + 3 \).
- Formule de récurrence : \( u_n \) est défini à partir du (ou des) termes précédents. Exemple : \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = 2u_n + 1 \).
Suite majorée, minorée, bornée
Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite numérique :
- \( (u_n) \) est majorée par un nombre réel \( M \) \( \iff \forall n \in I, \quad u_n \leq M \)
- \( (u_n) \) est minorée par un nombre réel \( m \) \( \iff \forall n \in I, \quad u_n \geq m \)
- \( (u_n) \) est bornée si \( (u_n) \) est majorée et minorée.
\( (u_n) \) est bornée \( \iff \) il existe \( M > 0 \) tel que \( \forall n \in I, \; |u_n| \leq M \).
Monotonie d'une suite
Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite numérique :
- \( (u_n) \) est croissante \( \iff \forall n \in I, \quad u_{n+1} \geq u_n \)
- \( (u_n) \) est décroissante \( \iff \forall n \in I, \quad u_{n+1} \leq u_n \)
- \( (u_n) \) est constante \( \iff \forall n \in I, \quad u_{n+1} = u_n \)
- Méthode 1 : Étudier le signe de \( u_{n+1} - u_n \).
- Méthode 2 : Si \( u_n > 0 \), comparer \( \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \) avec 1.
- Méthode 3 : Si \( u_n = f(n) \), étudier les variations de la fonction \( f \).
Suite arithmétique & suite géométrique
| Suite arithmétique de raison \( r \) | Suite géométrique de raison \( q \) | |
|---|---|---|
| Définition | \( u_{n+1} = u_n + r \) | \( u_{n+1} = q \times u_n \) |
| Terme général | \( u_n = u_p + (n - p) \cdot r \) | \( u_n = u_p \times q^{n-p} \) |
| Somme de termes consécutifs | \( u_p + \ldots + u_n = (n-p+1)\!\left(\dfrac{u_p + u_n}{2}\right) \) | \( u_p + \ldots + u_n = u_p \times \dfrac{q^{n-p+1} - 1}{q - 1} \) |
| \( a, b, c \) trois termes consécutifs | \( 2b = a + c \) | \( b^2 = a \times c \) |
Si \( p = 0 \) :
- Arithmétique : \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\!\left(\dfrac{u_0 + u_n}{2}\right) \)
- Géométrique : \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \times \dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1} \quad (q \neq 1) \)
\( 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} \)
\( 1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1} \quad (q \neq 1) \)
Critères de convergence
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Si \( v_n \leq u_n \leq w_n \) et \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = \lim_{n\to+\infty} w_n = \ell \), alors :
\( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell \)
Si \( |u_n - \ell| \leq v_n \) et \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = 0 \), alors :
\( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell \)
Si \( u_n \geq v_n \) et \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty \), alors :
\( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty \)
Si \( u_n \leq v_n \) et \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = -\infty \), alors :
\( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty \)
Limites de référence
1. Limite de la suite \( (n^\alpha) \) avec \( \alpha \in \mathbb{Q}^* \)
| \( \alpha < 0 \) | \( \alpha > 0 \) |
|---|---|
| \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^\alpha = 0 \) | \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^\alpha = +\infty \) |
- \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^2 = +\infty \;;\quad \lim_{n\to+\infty} \sqrt{n} = +\infty \;;\quad \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n} = 0 \;;\quad \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^3} = 0 \)
2. Limite de la suite \( (q^n) \) avec \( q \in \mathbb{R} \)
| \( q \leq -1 \) | \( -1 < q < 1 \) | \( q = 1 \) | \( q > 1 \) |
|---|---|---|---|
| La suite \( (q^n) \) n'admet pas de limite | \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^n = 0 \) | \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^n = 1 \) | \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty \) |
- \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0 \;;\quad \lim_{n\to+\infty} 3^n = +\infty \;;\quad \lim_{n\to+\infty} (-1)^n \) n'existe pas.
Suite de type \( v_n = f(u_n) \)
Si \( (u_n)_{n \in I} \) est une suite convergente de limite \( \ell \), et si \( f \) est une fonction continue en \( \ell \), alors :
La suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = f(u_n) \) est convergente et :
\( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = \lim_{n\to+\infty} f(u_n) = f(\ell) \)
Si \( u_n \to 2 \) et \( v_n = \sqrt{u_n + 5} \), alors \( v_n \to \sqrt{2+5} = \sqrt{7} \) car \( x \mapsto \sqrt{x+5} \) est continue en 2.
Suite de type \( u_{n+1} = f(u_n) \)
Soit \( (u_n) \) une suite numérique définie par :
\( \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = f(u_n) \quad n \in \mathbb{N} \end{cases} \)
où \( f \) est une fonction définie sur un intervalle \( I \).
Si les conditions suivantes sont vérifiées :
- \( f \) est continue sur un intervalle \( I \)
- \( f(I) \subset I \) (l'intervalle \( I \) est stable par \( f \))
- \( a \in I \) (le premier terme appartient à \( I \))
- \( (u_n) \) est convergente
Alors la limite \( \ell \) de la suite \( (u_n) \) est solution de l'équation :
\( f(x) = x \)
C'est-à-dire : \( \ell \) est un point fixe de \( f \).
- Étape 1 : Montrer que \( f(I) \subset I \) (souvent par récurrence : \( \forall n,\; u_n \in I \)).
- Étape 2 : Montrer que \( (u_n) \) est monotone (étudier \( u_{n+1} - u_n \)).
- Étape 3 : Montrer que \( (u_n) \) est bornée (majorée si croissante, minorée si décroissante).
- Étape 4 : Conclure que \( (u_n) \) converge, puis résoudre \( f(x) = x \) pour trouver \( \ell \).
Soit \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \). On pose \( f(x) = \sqrt{2+x} \) sur \( I = [0, +\infty[ \).
Si on montre que \( (u_n) \) converge vers \( \ell \), alors \( \ell = \sqrt{2+\ell} \), donc \( \ell^2 = 2+\ell \), soit \( \ell^2 - \ell - 2 = 0 \). On obtient \( \ell = 2 \) (car \( \ell \geq 0 \)).