Calcul intégral

Calculer les intégrales suivantes :

1. \( \displaystyle\int_0^1 \left(\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{3}{2}x + 2\right)dx \)
2. \( \displaystyle\int_0^1 (e^{-x} - 2x + 1)\,dx \)
3. \( \displaystyle\int_0^1 3x\,e^{x^2+1}\,dx \)
4. \( \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{-x+6}\,dx \)
5. \( \displaystyle\int_0^{-1} \dfrac{4x}{x^2+1}\,dx \)
6. \( \displaystyle\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx \)
7. \( \displaystyle\int_0^{\ln 3} \dfrac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\,dx \)
8. \( \displaystyle\int_1^2 \dfrac{x}{3x+2}\,dx \)
9. \( \displaystyle\int_1^4 \dfrac{1}{x(x+1)}\,dx \)
10. \( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x\,dx \)

On considère les deux intégrales :

\( I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 x\,dx \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 x\,dx \)

1. Calculer : \( I + J \) et \( I - J \).
2. Déduire les deux valeurs de \( I \) et \( J \).
3. Calculer : \( K = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\cos^4 x - \sin^4 x)\,dx \).

À l'aide d'une IPP, calculer les intégrales suivantes :

1. \( \displaystyle\int_0^1 \ln(x+3)\,dx \)
2. \( \displaystyle\int_0^1 \big[\ln(x+3)\big]^2\,dx \)
3. \( \displaystyle\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx \)
4. \( \displaystyle\int_0^1 \ln(x + \sqrt{x^2+1})\,dx \)
5. \( \displaystyle\int_1^2 \dfrac{2x\ln x}{(x^2+1)^2}\,dx \)

Indication pour A₅ : \( \dfrac{1}{x(x^2+1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{x^2+1} \)

1. \( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x\,dx \)
2. \( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin x\,dx \)
3. \( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cdot e^x\,dx \)

On considère la suite numérique \( (I_n) \) définie par :

\( \forall n \in \mathbb{N}^* \;;\quad I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{x^2+1}\,dx \)

1. Calculer \( I_1 \).
2. Étudier la monotonie de la suite \( (I_n) \) et en déduire qu'elle converge.
3. Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}^* \;;\; 0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1} \). Puis calculer \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n \).

Exercice 5

On considère les trois intégrales suivantes :

\( A = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx \quad;\quad B = \int_0^1 \sqrt{x^2+1}\,dx \quad;\quad C = \int_0^1 \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\,dx \)

1. On pose \( \forall x \in I = [0, 1] \) : \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) \). Calculer \( f'(x) \) pour tout \( x \) de l'intervalle \( I \); en déduire la valeur de l'intégrale \( A \).
2. À l'aide d'une IPP, exprimer \( B \) en fonction de \( C \).
3. Montrer que : \( A + C = B \); en déduire la valeur numérique de \( B \) ainsi que celle de \( C \).
4. Calculer : \( D = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\,dx \).

   Indication : \( \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}} = x^2 \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \), puis faire une IPP.

Exercice 6

1) Calculer les deux intégrales :

\( I = \displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x(1+2\ln x)^2}\,dx \quad \text{et} \quad J = \int_{\ln 3}^{\ln 8} \dfrac{e^x}{\sqrt{1+e^x}}\,dx \)

2) On considère l'intégrale :

\( K = \displaystyle\int_0^1 (3x^2 + 1)\ln(x+1)\,dx \)

1. Vérifier que : \( \forall x \in [0, 1] \;;\; \dfrac{x^3+x}{x+1} = x^2 - x + 2 - \dfrac{2}{x+1} \).
2. À l'aide d'une IPP, calculer \( K \).

3) Déterminer les deux réels \( a \) et \( b \) tel que :

\( \forall x \in \mathbb{R} \;;\; \dfrac{x^3}{x^2+1} = ax + \dfrac{bx}{x^2+1} \)

Puis calculer l'intégrale \( H = \displaystyle\int_{-1}^0 \dfrac{x^3}{x^2+1}\,dx \).

Exercice 7

Soit \( f \) la fonction numérique définie par : \( f(x) = (x^2 - x)e^{-x} + x \).

1. Étudier la position relative de la courbe \( (C_f) \) et la droite \( (\Delta) \) d'équation : \( y = x \) sur l'intervalle \( [0, 1] \).
2. Montrer que la fonction \( H : x \mapsto (x^2 + 2x + 2)e^{-x} \) est une primitive de la fonction \( h : x \mapsto -x^2 e^{-x} \) sur \( [0, 1] \).
3. À l'aide d'une IPP, montrer que : \( \displaystyle\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx = 1 - \dfrac{2}{e} \).
4. Le plan est rapporté à un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) avec \( \|\vec{i}\| = 2\,\text{cm} \). Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe \( (C_f) \), la droite \( (\Delta) \) et les deux droites d'équations : \( x = 0 \) et \( x = 1 \).