Intégrale d'une fonction continue sur un segment
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a, b] \) et \( F \) une primitive de \( f \) sur \( [a, b] \).
L'intégrale de la fonction \( f \) entre \( a \) et \( b \) est le nombre réel :
\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a) \)
\( \displaystyle\int_1^3 2x\,dx = \Big[x^2\Big]_1^3 = 9 - 1 = 8 \)
Propriétés
\( \displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0 \)
\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx \)
Linéarité
Pour \( k \in \mathbb{R} \) :
- \( \displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx \)
- \( \displaystyle\int_a^b \big[f(x) + g(x)\big]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx \)
Relation de Chasles
Pour tout \( c \in [a, b] \) :
\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx \)
Intégrale & comparaison
Si \( \forall x \in [a, b] \), \( f(x) \geq 0 \), alors :
\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0 \)
Si \( \forall x \in [a, b] \), \( f(x) \geq g(x) \), alors :
\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_a^b g(x)\,dx \)
Valeur moyenne
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a, b] \).
La valeur moyenne de la fonction \( f \) sur \( [a, b] \) est le réel défini par :
\( \mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \)
Intégration par partie
Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions dérivables sur un intervalle \( [a, b] \), à condition que \( f' \) et \( g' \) soient continues sur \( [a, b] \). Alors :
\( \displaystyle\int_a^b f'(x) \cdot g(x)\,dx = \Big[f(x) \cdot g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f(x) \cdot g'(x)\,dx \)
On choisit \( f' \) et \( g \) de sorte que le produit \( f \cdot g' \) soit plus simple à intégrer que \( f' \cdot g \). Typiquement, on pose \( g(x) = \) la partie polynomiale ou logarithmique.
Calculer \( \displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx \). On pose \( g(x) = x \), \( f'(x) = e^x \), donc \( g'(x) = 1 \), \( f(x) = e^x \).
\( \displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx = \Big[x\,e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - \Big[e^x\Big]_0^1 = e - (e-1) = 1 \).
Calcul de l'aire algébrique d'un domaine plan
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \). L'unité d'aire (u.a.) est la surface d'un rectangle défini par le point \( O \) et les deux vecteurs \( \vec{i} \) et \( \vec{j} \) : \( 1\;\text{u.a.} = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\| \).
1. Aire entre une courbe et l'axe des abscisses
L'aire algébrique délimitée par la courbe \( (C_f) \), l'axe des abscisses, et les droites \( x = a \) et \( x = b \) est :
\( \mathcal{A} = \left(\int_a^b |f(x)|\,dx\right) \;\text{u.a.} \)
| Cas | Aire |
|---|---|
| \( f \) positive sur \( [a, b] \) | \( \left(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right) \;\text{u.a.} \) |
| \( f \) négative sur \( [a, b] \) | \( \left(\displaystyle\int_a^b -f(x)\,dx\right) \;\text{u.a.} \) |
| \( f \) positive sur \( [a, c] \), négative sur \( [c, b] \) | \( \left(\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b -f(x)\,dx\right) \;\text{u.a.} \) |
2. Aire entre deux courbes
L'aire algébrique comprise entre les courbes \( (C_f) \) et \( (C_g) \), et les droites \( x = a \) et \( x = b \) est :
\( \mathcal{A} = \left(\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx\right) \;\text{u.a.} \)
| Cas | Aire |
|---|---|
| \( (C_f) \) au-dessus de \( (C_g) \) sur \( [a, b] \) | \( \left(\displaystyle\int_a^b \big[f(x) - g(x)\big]\,dx\right) \;\text{u.a.} \) |
| \( (C_f) \) au-dessus sur \( [a, c] \), en dessous sur \( [c, b] \) | \( \left(\displaystyle\int_a^c \big[f(x) - g(x)\big]\,dx + \int_c^b \big[g(x) - f(x)\big]\,dx\right) \;\text{u.a.} \) |
Calcul d'un volume
Le volume du solide engendré par un tour complet de la courbe \( (C_f) \) autour de l'axe des abscisses, dans un intervalle \( [a, b] \), est :
\( V = \left(\int_a^b \pi\big[f(x)\big]^2\,dx\right) \;\text{u.a.} \)
Le volume de la sphère de rayon \( R \) : la courbe est \( f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \) sur \( [-R, R] \).
\( V = \displaystyle\int_{-R}^{R} \pi(R^2 - x^2)\,dx = \pi\left[R^2 x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \).