Chapitre 06

Nombres complexes

Exercices — Forme algébrique, trigonométrique, module, argument, géométrie et problèmes de synthèse.

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Sommaire des exercices
  1. I Forme algébrique Exo 1 – 2
  2. II Forme trigonométrique Exo 3 – 4
  3. III Module, argument et ensembles Exo 5
  4. IV Géométrie dans le plan complexe Exo 6 – 7
  5. V Problèmes de synthèse (type Bac) Exo 8 – 11
Section I

Forme algébrique

Exercice 1

Écrire les nombres complexes sous forme algébrique :

  1. \( z_1 = \dfrac{1}{2-3i} \)
  2. \( z_2 = \dfrac{1-i}{3+i} \)
  3. \( z_3 = \dfrac{2i}{1-2i} + \dfrac{(1+i)^2}{i} \)
  4. \( z_4 = (3+i)(1-5i) \)
  5. \( z_5 = \dfrac{3-6i}{3+i} + \dfrac{4}{3-i} \)
  6. \( z_6 = \left(\dfrac{4-6i}{2-3i}\right)\!\left(\dfrac{1+3i}{3+2i}\right) \)

Exercice 2

1) Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

  1. \( Z_1 = (i\sqrt{2}-1)(1+i\sqrt{2}) \)
  2. \( Z_2 = \dfrac{7+i}{3-2i} \)
  3. \( Z_3 = \left(\dfrac{1-i}{\sqrt{3}-i}\right)^5 \)
  4. \( Z_4 = (1+i)^3 \)
  5. \( Z_5 = \left(\dfrac{i}{4-3i}\right)\!\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right) \)
  6. \( Z_6 = \dfrac{(3-2i)(5+i)}{3i(7+2i)} \)

2) Soit \( z \in \mathbb{C} \setminus \{2i\} \) et on pose : \( U = \dfrac{z+1}{z-2i} \) et \( z = x+iy \;;\; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \).

  1. Écrire \( U \) sous forme algébrique.
  2. Déterminer l'ensemble de points \( M(z) \) tel que : \( U \in i\mathbb{R} \).
  3. Déterminer l'ensemble de points \( M(z) \) tel que : \( U \in \mathbb{R} \).
Section II

Forme trigonométrique

Exercice 3

Donner une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants :

  1. \( z_1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i \)
  2. \( z_2 = \sqrt{6} - \sqrt{2}\,i \)
  3. \( z_3 = -\dfrac{1}{2\sqrt{3}} - \dfrac{1}{2}\,i \)
  4. \( z_4 = (1-i)(-\sqrt{3}+i) \)
  5. \( z_5 = \dfrac{1+\sqrt{3}\,i}{1+i} \)
  6. \( z_6 = (1+i)^5 \)

Exercice 4

On pose : \( z_1 = 1+i \), \( z_2 = \sqrt{3}+i \) et \( z_3 = \dfrac{z_1}{z_2} \).

  1. Donner une forme trigonométrique des nombres complexes \( z_1 \), \( z_2 \) et \( z_3 \).
  2. Déduire : \( \cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \) et \( \sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \).
  3. On pose : \( z_4 = (\sqrt{6}+\sqrt{2}) + i(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \). Montrer que : \( \left(\dfrac{z_4}{4}\right)^{2016} \in \mathbb{R} \).
Section III

Module, argument & ensembles

Exercice 5

1) Déterminer le module des nombres complexes suivants :

  1. \( Z_1 = (i\sqrt{2}-1)(1+i\sqrt{2}) \)
  2. \( Z_2 = \dfrac{7+i}{3-2i} \)
  3. \( Z_3 = \left(\dfrac{1-i}{\sqrt{3}-i}\right)^5 \)
  4. \( Z_4 = (1+i)^3 \)
  5. \( Z_5 = \left(\dfrac{i}{4-3i}\right)\!\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right) \)
  6. \( Z_6 = \dfrac{(3-2i)(5+i)}{3i(7+2i)} \)

2) Déterminer l'ensemble de points \( M(z) \) tel que \( |z - 3i| = |1 + iZ| \).

3) Déterminer l'ensemble de points \( M(z) \) tel que : \( |i\bar{z} + 1 - 2i| = |\sqrt{2}(1-i)| \).

4) Soit \( z \in \mathbb{C} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}i\right\} \). Montrer que : \( \left|\dfrac{z+2i}{2z+i}\right| = 1 \iff |z| = 1 \).

Section IV

Géométrie dans le plan complexe

Exercice 6

Le plan complexe \( (\mathcal{P}) \) est muni d'un repère orthonormé \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \). On considère les points \( A \), \( B \) et \( C \) d'affixes respectives : \( a = 3+4i \), \( b = 3i \) et \( c = 2-i \).

  1. Vérifier que les points \( A \), \( B \) et \( C \) ne sont pas alignés.
  2. Déterminer l'affixe du point \( D \) pour lequel \( ABDC \) soit un parallélogramme.
  3. Déterminer \( Z_I \) l'affixe du point \( I \) le centre du parallélogramme \( ABDC \).
  4. Soit \( E \) le point d'affixe : \( e = -\dfrac{3}{2}(3+i) \). Montrer que les droites \( (AB) \) et \( (OE) \) sont parallèles et que : \( AB = \dfrac{2}{3}\,OE \) ; puis déduire la nature du quadrilatère \( OABE \).
  5. Montrer que le point \( \Omega \) d'affixe \( \omega = \dfrac{1}{7}(15+11i) \) est le centre du cercle \( (C) \) circonscrit au triangle \( ABC \).

Exercice 7

On considère dans le plan complexe les points \( A \), \( B \) et \( C \) d'affixes respectives : \( z_A = -\sqrt{2} \), \( z_B = 1+i \) et \( z_C = 1-i \).

  1. Placer les points \( A \), \( B \) et \( C \) sur un repère \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \).
    1. Déterminer le module et l'argument de \( \dfrac{z_A - z_B}{z_A - z_C} \).
    2. Déduire une mesure de l'angle orienté \( (\overrightarrow{AC},\, \overrightarrow{AB}) \).
    1. Déterminer la forme algébrique puis une forme trigonométrique du quotient : \( \dfrac{z_A - z_B}{z_A} \).
    2. Déduire : \( \cos\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right) \) et \( \sin\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right) \).
Section V

Problèmes de synthèse (type Bac)

Exercice 8 (3.5 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \), on considère les points \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) et \( \Omega \) d'affixes respectives \( a = 1+2i \), \( b = \bar{a} \), \( c = \dfrac{3(3+i)}{2} \), \( d = \dfrac{3(1+i)}{2} \) et \( \omega = \dfrac{5}{2} \).

    1. Vérifier que \( a + b = 2 \) et déduire que l'affixe du point \( P \), milieu du segment \( [AB] \), est \( p = 1 \).
    2. Montrer que \( a \) et \( b \) sont les solutions de l'équation : \( z^2 - 2z + 5 = 0 \) dans \( \mathbb{C} \).
    1. Vérifier que \( |\omega - a| = |\omega - b| = |\omega - c| \).
    2. Déduire que \( \Omega \) est le centre du cercle circonscrit au triangle \( ABC \).
    1. Vérifier que \( \dfrac{d-c}{a-b} = \dfrac{3}{4}\,i \).
    2. Montrer que \( d - b = (c-a)\,e^{i\frac{\pi}{2}} \) puis déduire que les droites \( (DB) \) et \( (AC) \) sont perpendiculaires.
  4. Soit \( h \) l'homothétie de centre \( C \) et de rapport \( \dfrac{2}{3} \) qui transforme chaque point \( M \) d'affixe \( z \) en un point \( M' \) d'affixe \( z' \). On pose \( h(P) = G \).
    1. Vérifier que \( z' = \dfrac{2}{3}z + \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i \).
    2. Montrer que l'affixe du point \( G \) est \( g = \dfrac{13}{6} + \dfrac{1}{2}i \).
  5. Montrer que les points \( \Omega \), \( G \) et \( D \) sont alignés.

Exercice 9 (3 points)

1) On considère le nombre complexe \( a = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\,i \).

  1. Montrer que \( a = \sqrt{3}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right) \).
  2. Déduire que \( a^{2022} \) est un nombre réel.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \), on considère les points \( A \) et \( B \) d'affixes respectives \( a \) et \( \bar{a} \). Déterminer une mesure de l'angle de la rotation \( R \) de centre \( O \) et qui transforme \( B \) en \( A \).

3) On considère dans \( \mathbb{C} \) l'équation \( (E_\alpha) : z^2 - \sqrt{3}\,z + \alpha = 0 \) où \( \alpha \) est un nombre réel non nul. On suppose que \( (E_\alpha) \) admet deux racines complexes conjuguées non réelles \( z \) et \( \bar{z} \). Soient les points \( M(z) \), \( N(\bar{z}) \) et \( P(\sqrt{3}) \) du plan complexe.

Sans résoudre l'équation \( (E_\alpha) \) :

  1. Justifier que \( \alpha > \dfrac{3}{4} \) et que \( \alpha = z\bar{z} \).
  2. Montrer que \( |z| = |z - \sqrt{3}| \).
  3. En déduire que les points \( M \) et \( N \) appartiennent à la médiatrice \( (\Delta) \) du segment \( [OP] \).
  4. Déterminer la valeur de \( \alpha \) pour laquelle \( |z - \sqrt{3}| = \sqrt{3} \) et déduire dans ce cas les points d'intersection de la droite \( (\Delta) \) et le cercle de centre \( P \) et de rayon \( \sqrt{3} \).

Exercice 10 (5 points)

1) Dans l'ensemble \( \mathbb{C} \) des nombres complexes, on considère l'équation :

\( (E) : z^2 - 2(\sqrt{2}+\sqrt{6})\,z + 16 = 0 \)

  1. Vérifier que le discriminant de l'équation \( (E) \) est \( \Delta = -4(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 \).
  2. En déduire les solutions de l'équation \( (E) \).

2) Soient les nombres complexes \( a = (\sqrt{6}+\sqrt{2}) + i(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \), \( b = 1+i\sqrt{3} \) et \( c = \sqrt{2}+i\sqrt{2} \).

  1. Vérifier que \( b\bar{c} = a \), puis en déduire que \( ac = 4b \).
  2. Écrire les nombres complexes \( b \) et \( c \) sous forme trigonométrique.
  3. En déduire que \( a = 4\!\left(\cos\dfrac{\pi}{12} + i\sin\dfrac{\pi}{12}\right) \).

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \), on considère les points \( B \), \( C \) et \( D \) d'affixes respectives \( b \), \( c \) et \( d \) telle que \( d = a^4 \). Soit \( z \) l'affixe d'un point \( M \) du plan et \( z' \) l'affixe de \( M' \) image de \( M \) par la rotation \( R \) de centre \( O \) et d'angle \( \dfrac{\pi}{12} \).

  1. Vérifier que \( z' = \dfrac{1}{4}\,az \).
  2. Déterminer l'image du point \( C \) par la rotation \( R \).
  3. Déterminer la nature du triangle \( OBC \).
  4. Montrer que \( a^4 = 128b \) et en déduire que les points \( O \), \( B \) et \( D \) sont alignés.

Exercice 11 (3 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \), on considère les points \( A \), \( B \), \( C \) et \( D \) d'affixes respectives \( a = \sqrt{2}+i\sqrt{2} \), \( b = 1+\sqrt{2}+i \), \( c = \bar{b} \) et \( d = 2i \).

  1. Écrire le nombre complexe \( a \) sous forme trigonométrique.
    1. Vérifier que \( b - d = c \).
    2. Montrer que \( (\sqrt{2}+1)(b-a) = b-d \) et déduire que les points \( A \), \( B \) et \( D \) sont alignés.
    1. Vérifier que \( ac = 2b \).
    2. En déduire que \( 2\arg(b) \equiv \dfrac{\pi}{4} \;[2\pi] \).
  4. Soit \( R \) la rotation de centre \( O \) et d'angle \( \dfrac{\pi}{4} \) qui transforme chaque point \( M \) d'affixe \( z \) en un point \( M' \) d'affixe \( z' \).
    1. Montrer que \( z' = \dfrac{1}{2}\,az \).
    2. En déduire que \( R(C) = B \) et que \( R(A) = D \).
    3. Montrer que \( \dfrac{b-a}{c-a} = \left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\right)a \), puis déduire une mesure de l'angle \( (\overrightarrow{AC},\, \overrightarrow{AB}) \).