Sommaire
- I Définition et forme algébrique
- II Conjugué et module
- III Opérations
- IV Puissances de i
- V Forme trigonométrique (polaire)
- VI Propriétés des arguments
- VII Forme exponentielle d'Euler
- VIII Formule de De Moivre et linéarisation
- IX Interprétation géométrique
- X Transformations du plan complexe
- XI Valeurs remarquables et applications géométriques
Section I
Définition & forme algébrique
Définition
Le nombre \( i \) est l'unité imaginaire tel que \( i^2 = -1 \), soit \( i = \sqrt{-1} \).
Tout nombre complexe \( z \) s'écrit sous la forme algébrique :
\( z = a + bi \)
où \( a = \text{Re}(z) \in \mathbb{R} \) est la partie réelle et \( b = \text{Im}(z) \in \mathbb{R} \) est la partie imaginaire.
Cas particuliers
| Type | Condition |
|---|---|
| \( z \) est réel | \( \text{Im}(z) = 0 \iff b = 0 \) |
| \( z \) est imaginaire pur | \( \text{Re}(z) = 0 \iff a = 0 \) |
| \( z = 0 \) | \( a = 0 \) et \( b = 0 \) |
| \( z_1 = z_2 \) | \( \text{Re}(z_1) = \text{Re}(z_2) \) et \( \text{Im}(z_1) = \text{Im}(z_2) \) |
Section II
Conjugué & module
Conjugué
Définition
Le conjugué de \( z = a+bi \) est : \( \bar{z} = a - bi \)
Propriétés
- \( z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z) = 2a \)
- \( z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z) = 2bi \)
- \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2 \)
- \( \overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2} \)
- \( \overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2} \)
Module
Définition
\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Propriétés
- \( |z| \geq 0 \;;\quad |z| = 0 \iff z = 0 \)
- \( |\bar{z}| = |z| \)
- \( |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \)
- \( \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \)
- \( |z^n| = |z|^n \)
Section III
Opérations
Soient \( z_1 = a + bi \) et \( z_2 = c + di \) :
| Opération | Résultat |
|---|---|
| \( z_1 + z_2 \) | \( (a+c) + (b+d)i \) |
| \( z_1 - z_2 \) | \( (a-c) + (b-d)i \) |
| \( z_1 \cdot z_2 \) | \( (ac - bd) + (ad + bc)i \) |
| \( \dfrac{z_1}{z_2} \) | \( \dfrac{z_1 \cdot \bar{z_2}}{|z_2|^2} = \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2} + \dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i \) |
Astuce division
Pour diviser, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Section IV
Puissances de \( i \)
Cycle de période 4
| \(i^0\) | \(i^1\) | \(i^2\) | \(i^3\) | \(i^{4k}\) | \(i^{4k+1}\) | \(i^{4k+2}\) | \(i^{4k+3}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(i\) | \(-1\) | \(-i\) | \(1\) | \(i\) | \(-1\) | \(-i\) |
Règle pratique
Diviser l'exposant par 4. Le reste (0, 1, 2, 3) donne respectivement \( 1,\; i,\; -1,\; -i \).
Section V
Forme trigonométrique (polaire)
Forme trigonométrique
Tout nombre complexe \( z \neq 0 \) s'écrit :
\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)
| Élément | Définition et calcul |
|---|---|
| \( r = |z| \) | Module : \( r = \sqrt{a^2+b^2} \geq 0 \) |
| \( \theta = \arg(z) \) | \( \cos\theta = \dfrac{a}{r} \) et \( \sin\theta = \dfrac{b}{r} \) |
| \( a,\; b \) | \( a = r\cos\theta \;;\quad b = r\sin\theta \) |
| \( \theta \in\, ]-\pi, \pi] \) | Argument principal (modulo \( 2\pi \)) |
Section VI
Propriétés des arguments (mod \(2\pi\))
| Expression | Propriété | Expression | Propriété |
|---|---|---|---|
| \(\arg(z_1 \cdot z_2)\) | \(\arg(z_1)+\arg(z_2)\) | \(\arg(\bar{z})\) | \(-\arg(z)\) |
| \(\arg(z_1/z_2)\) | \(\arg(z_1)-\arg(z_2)\) | \(\arg(1/z)\) | \(-\arg(z)\) |
| \(\arg(z^n)\) | \(n\cdot\arg(z)\) | \(\arg(-z)\) | \(\arg(z)+\pi\) |
Section VII
Forme exponentielle d'Euler
Forme exponentielle
\( z = r \cdot e^{i\theta} \)
Formule d'Euler : \( e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \) ; \( e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta \)
| Opération | Formule exponentielle |
|---|---|
| \(z_1 \cdot z_2\) | \(r_1 r_2 \cdot e^{i(\theta_1+\theta_2)}\) |
| \(z_1 / z_2\) | \((r_1/r_2) \cdot e^{i(\theta_1-\theta_2)}\) |
| \(z^n\) | \(r^n \cdot e^{in\theta}\) |
| \(\bar{z}\) | \(r \cdot e^{-i\theta}\) |
| \(1/z\) | \((1/r) \cdot e^{-i\theta}\) |
Section VIII
Formule de De Moivre & linéarisation
Formule de De Moivre
\( (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \)
Ou bien : \( (r \cdot e^{i\theta})^n = r^n \cdot e^{in\theta} \)
Formules de linéarisation
\( \cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \)
\( \sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \)
Section IX
Interprétation géométrique
| Expression complexe | Sens géométrique |
|---|---|
| \( |z_B - z_A| \) | Distance \( AB \) |
| \( \arg(z_B - z_A) \) | Angle orienté \( (\vec{u},\, \overrightarrow{AB}) \) |
| \( \dfrac{z_A + z_B}{2} \) | Affixe du milieu de \( [AB] \) |
| \( |z - z_A| = r \) | Cercle de centre \( A \), rayon \( r \) |
| \( |z - z_A| = |z - z_B| \) | Médiatrice du segment \( [AB] \) |
| \( \arg\!\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \) | Angle orienté \( (\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC}) \) au sommet \( A \) |
Section X
Transformations du plan complexe
| Transformation | Écriture complexe |
|---|---|
| Translation de vecteur \( \vec{u}\;(z_u) \) | \( z' = z + z_u \) |
| Homothétie (centre \( \Omega \), rapport \( k \)) | \( z' - z_\Omega = k(z - z_\Omega) \) |
| Rotation (centre \( \Omega \), angle \( \theta \)) | \( z' - z_\Omega = e^{i\theta}(z - z_\Omega) \) |
| Symétrie centrale (centre \( \Omega \)) | \( z' = 2z_\Omega - z \) |
| Symétrie axiale (axe réel) | \( z' = \bar{z} \) |
Section XI
Valeurs remarquables & applications géométriques
1. Tableau des valeurs remarquables
| \(\theta\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{2\pi}{3}\) | \(\frac{3\pi}{4}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos\theta\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-1\) |
| \(\sin\theta\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(0\) |
| \(e^{i\theta}\) | \(1\) | \(e^{i\pi/6}\) | \(e^{i\pi/4}\) | \(e^{i\pi/3}\) | \(i\) | \(e^{i2\pi/3}\) | \(e^{i3\pi/4}\) | \(-1\) |
2. Applications géométriques
Outil central
\( \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \) dont le module = \( \dfrac{AC}{AB} \) et l'argument = \( (\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC}) \).
| Concept géométrique | Condition complexe |
|---|---|
| A, B, C alignés | \( \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R} \) |
| A, B, C non alignés | \( \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \notin \mathbb{R} \) |
| Triangle ABC isocèle en A | \( \left|\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right| = 1 \) et \( \arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) \neq 0\;[\pi] \) |
| Triangle ABC rectangle en A | \( \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R} \), c-à-d \( \arg = \pm\dfrac{\pi}{2} \) |
| Triangle rect. isocèle en A | \( \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \pm\, i \) |
| Triangle équilatéral | \( \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{\pm i\pi/3} = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \) |
| Quadrilatère | Condition complexe |
|---|---|
| ABCD parallélogramme | \( z_B - z_A = z_C - z_D \) |
| ABCD rectangle | Parallélogramme + \( \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R} \) |
| ABCD losange | Parallélogramme + \( \left|\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\right| = 1 \) |
| ABCD carré | Rectangle + losange, soit \( \dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A} = \pm\,i \) |
| Droites et angles | Condition |
|---|---|
| \((AB) \parallel (CD)\) | \( \dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \in \mathbb{R} \) |
| \((AB) \perp (CD)\) | \( \dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R} \) |
| Angle orienté \((\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{CD})\) | \( \arg\!\left(\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \;[2\pi] \) |
| A, B, C, D cocycliques | \( \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A} \cdot \dfrac{z_B - z_C}{z_D - z_C} \) est un rapport croisé réel |
Clés de mémorisation
- \( \in \mathbb{R} \) ⟹ alignés / parallèles
- \( \in i\mathbb{R} \) ⟹ perpendiculaires
- \( = \pm\,i \) ⟹ même longueur et perpendiculaires