Dérivation & étude des fonctions

Exercice 1

Soit \( f \) la fonction numérique définie par : \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \).

1. Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( x_0 = 2 \).
2. Déterminer une équation de la tangente \( (T) \) à la courbe \( (C_f) \) au point d'abscisse 2.

Exercice 2

Soit \( f \) la fonction numérique définie par : \( f(x) = x + \sqrt{x^2 - 3x} \).

1. Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de \( f \).
2. Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite en 3, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

Exercice 3

Soit \( f \) la fonction numérique définie par : \( f(x) = x - \sqrt[3]{1 - x} \).

1. Étudier la dérivabilité de \( f \) à gauche en 1, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

Exercice 4

Déterminer dans chacun des cas suivants la dérivée de la fonction \( f(x) \) :

1. \( f(x) = 4x^3 + 24x + 5 \)
2. \( f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x + 1} \)
3. \( f(x) = \sqrt{x}\cos x \)
4. \( f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 4} \)
5. \( f(x) = (3x^2 + x + 4)^7 \)
6. \( f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 2x + 1} \)
7. \( f(x) = (x^2 + 2x)^{\frac{5}{3}} \)
8. \( f(x) = \cos(x^2 + 7x + 1) \)
9. \( f(x) = \left(\dfrac{1}{x^2 + 3x + 7}\right) \)
10. \( f(x) = \sqrt{x^2 + 5x} \)
11. \( f(x) = \sqrt[4]{1 + \cos^2 x} \)
12. \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} - 2x + \sqrt[4]{4x + 1} \)
13. \( f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 5x}} \)

Exercice 5

Soit \( f \) la fonction définie sur \( [0, +\infty[ \) par : \( f(x) = x\sqrt{x^3 + 1} \).

1. Calculer \( f'(x) \) puis déduire que \( f \) est strictement croissante sur \( [0, +\infty[ \).
2. Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \).
3. Calculer \( f(2) \) puis déduire \( (f^{-1})'(6) \).
4. Calculer \( f(0) \) puis déduire \( (f^{-1})'(0) \).

Exercice 6

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = x^3 - 3x - 3 \).

1. Étudier les variations de la fonction \( f \).
2. Soit \( g \) la restriction de \( f \) sur l'intervalle \( [1, +\infty[ \).
   1. Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) que l'on déterminera.
   2. Montrer que l'équation \( g(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \), et que \( 2 < \alpha < 3 \).
3. Déterminer l'intervalle de dérivabilité de \( g^{-1} \).
4. Montrer que \( (g^{-1})'(0) = \dfrac{1}{3(\alpha^2 - 1)} \).

Exercice 7

Soit \( f \) la fonction numérique définie par : \( f(x) = x\sqrt[4]{x-1} \).

1. Déterminer \( D_f \) puis \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \).
2. Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite en 2, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3. 1. Montrer que \( \forall x \in [2, +\infty[ \) : \( f'(x) = \dfrac{4x - 6}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}} \).
   2. Dresser le tableau de variation de la fonction \( f \).
4. 1. Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) à déterminer.
   2. Montrer que \( f^{-1} \) est dérivable en 3, puis calculer \( (f^{-1})'(3) \).

Exercice 8

Soit \( f \) la fonction numérique définie sur \( [-2, -1[\,\cup\,]-1, +\infty[ \) par : \( f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x+2} - 1} \).

Et soit \( C_f \) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

1. Calculer les limites suivantes : \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \;;\; \lim_{x\to -1^+} f(x) \) et \( \lim_{x\to -1^-} f(x) \).
2. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x} \) puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3. 1. Étudier la dérivabilité de la fonction \( f \) à droite en \( -2 \).
   2. Montrer que pour tout réel \( x \) de \( [-2, -1[\,\cup\,]-1, +\infty[ \) : \( f'(x) = \dfrac{(\sqrt{x+2} - 1)^2 + 1}{2\sqrt{x+2}\,(\sqrt{x+2} - 1)^2} \)
4. Dresser le tableau de variations de la fonction \( f \).
5. Soit \( g \) la restriction de \( f \) sur l'intervalle \( I = [-1, 2] \). Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) que l'on déterminera.
6. 1. Tracer la courbe \( C_f \). (L'étude de la concavité de \( C_f \) n'est pas demandée).
   2. Tracer dans le repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) la courbe de la fonction \( g^{-1} \).

Exercice 9

Soit \( f \) la fonction de la variable réelle définie par : \( f(x) = x - \sqrt{2x - 1} \), et soit \( C_f \) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

1. Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de \( f \), et calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \).
2. Déterminer la nature de la branche infinie de la courbe \( C_f \).
3. 1. Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite en \( \dfrac{1}{2} \).
   2. Montrer que le signe de \( f'(x) \) sur l'intervalle \( \left]\dfrac{1}{2}, +\infty\right[ \) est le signe de \( x - 1 \).
4. Dresser le tableau de variations de la fonction \( f \).
5. Donner une équation cartésienne de la tangente \( (T) \) à la courbe \( (C_f) \) au point d'abscisse 5.
6. Tracer la courbe \( C_f \).
7. Soit \( g \) la fonction définie sur l'intervalle \( [3, +\infty[ \) par : \( g(x) = \dfrac{f(x)}{x} \).
   1. Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur l'intervalle \( [0, +\infty[ \).
   2. Vérifier que \( (\forall x \in [1, +\infty[) \;;\; g(x) = x \) : \( \dfrac{(\sqrt{2x-1}-1)^2}{2} \) pour tout réel \( x \) de l'intervalle \( [0, +\infty[ \).
   3. Calculer \( g^{-1}(x) \) pour tout réel \( x \) de l'intervalle \( [0, +\infty[ \).

Exercice 10

Soit \( f \) la fonction de la variable réelle définie par : \( (\forall x \in \mathbb{R}) \;;\; f(x) = \dfrac{1}{2}(x + \sqrt{x^2 + 4}) \). Et soit \( C_f \) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

1. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \) et \( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) \).
2. 1. Montrer que : \( (\forall x \in \mathbb{R}) \;;\; f'(x) = \dfrac{x + \sqrt{x^2+4}}{2\sqrt{x^2+4}} \).
   2. Dresser le tableau de variations de la fonction \( f \).
3. Étudier la branche infinie de la courbe \( C_f \).
4. Donner une équation cartésienne de la tangente \( (T) \) à la courbe \( (C_f) \) au point d'abscisse 0.
5. Tracer la courbe \( C_f \).
6. Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) que l'on déterminera.
7. Montrer que pour tout réel \( x \) de \( J \) : \( f^{-1}(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} \).
8. Calculer \( (f^{-1})'(0) \).

Exercice 11

Soit \( f \) la fonction numérique de la variable réelle définie par : \( f(x) = -1 + \sqrt[4]{1 - x} \), et soit \( C_f \) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

1. 1. Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de la fonction.
   2. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) \).
   3. Étudier la dérivabilité de \( f \) à gauche en 1 et interpréter graphiquement ce résultat.
2. Étudier les variations de la fonction \( f \).
3. Étudier la branche infinie de la courbe \( (C_f) \).
4. Déterminer \( f(0) \) et \( f(1) \) puis tracer la courbe \( (C_f) \).
5. Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) que l'on déterminera.

Exercice 12

Soit \( f \) la fonction de la variable réelle définie par : \( f(x) = x + 1 - \sqrt{x^2 - 2x} \).

1. 1. Déterminer \( D_f \), l'ensemble de définition de \( f \).
   2. Calculer les limites de la fonction \( f \) aux bornes de \( D_f \).
2. 1. Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite en 2 et interpréter graphiquement ce résultat.
   2. Calculer \( f'(x) \) et étudier son signe.
3. Montrer que \( (C_f) \) admet une asymptote oblique dont on déterminera son équation, puis déterminer sa position relative par rapport à la courbe \( (C_f) \).
4. Tracer la courbe \( (C_f) \).
5. Soit \( g \) la restriction de \( f \) sur l'intervalle \( [2, +\infty[ \).
   1. Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \).
   2. Tracer dans le même repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) la courbe \( (C_{f^{-1}}) \).

Exercice 13

Soit \( f \) la fonction numérique de la variable réelle définie par : \( f(x) = \sqrt{x^2 + |x| + 1} \).

1. Montrer que : \( D_f = \mathbb{R} \).
2. Étudier la parité de \( f \).
3. 1. Déterminer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \).
   2. Étudier la branche infinie de la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).
4. 1. Étudier la dérivabilité de la fonction \( f \) à droite en 0.
   2. Étudier les variations de la fonction \( f \).
5. Tracer la courbe \( (C_f) \).
6. Soit \( g \) la fonction définie sur l'intervalle \( I = \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[ \) par : \( g(x) = f(x) \).
   1. Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) à déterminer.
   2. Tracer, dans le repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), la courbe représentative de \( g^{-1} \).

Exercice 14

Soit \( f \) la fonction numérique de la variable réelle définie par : \( f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2 \), et \( C_f \) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

1. Calculer \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) \).
2. Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite en 0 et en donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
3. Montrer que pour tout \( x > 0 \) on a : \( f'(x) = 2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) \).
4. Étudier le signe de \( f'(x) \) et donner le tableau de variations de la fonction \( f \).
5. Étudier la branche infinie de la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).
6. Tracer la courbe \( (C_f) \).
7. Soit \( g \) la restriction de \( f \) sur l'intervalle \( [4, +\infty[ \).
   1. Calculer \( g^{-1}(x) \) pour tout réel \( x \) de \( J \).
   2. Tracer, dans le repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), la courbe représentative de \( g^{-1} \).