- I Tableau des dérivées
- II Dérivabilité en un point
- III Dérivabilité à droite et à gauche
- IV Équation de la tangente
- V Interprétation géométrique
- VI Dérivabilité des fonctions usuelles
- VII Opérations sur les fonctions dérivables
- VIII Dérivée d'une fonction réciproque
- IX Dérivation et monotonie
- X Extremums d'une fonction
- XI Branches infinies
- XII Concavité et point d'inflexion
Tableau des dérivées
1. Fonctions simples
| Fonction \( f(x) \) | Dérivée \( f'(x) \) |
|---|---|
| \( a \) (constante) | \( 0 \) |
| \( x \) | \( 1 \) |
| \( ax \) | \( a \) |
| \( x^2 \) | \( 2x \) |
| \( x^n \) | \( n \cdot x^{n-1} \) |
| \( \dfrac{1}{x} \) | \( \dfrac{-1}{x^2} \) |
| \( \sqrt{x} \) | \( \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) |
| \( \ln x \) | \( \dfrac{1}{x} \) |
| \( e^x \) | \( e^x \) |
| \( \sin x \) | \( \cos x \) |
| \( \cos x \) | \( -\sin x \) |
2. Fonctions composées \( \small{(U' = dU/dx)} \)
| Fonction composée \( f(U) \) | Dérivée |
|---|---|
| \( a \cdot U \) | \( a \cdot U' \) |
| \( U^2 \) | \( 2U \cdot U' \) |
| \( U^n \) | \( n \cdot U^{n-1} \cdot U' \) |
| \( \dfrac{1}{U} \) | \( \dfrac{-U'}{U^2} \) |
| \( \sqrt{U} \) | \( \dfrac{U'}{2\sqrt{U}} \) |
| \( \ln(U) \) | \( \dfrac{U'}{U} \) |
| \( e^U \) | \( U' \cdot e^U \) |
| \( \sin(U) \) | \( U' \cdot \cos(U) \) |
| \( \cos(U) \) | \( -U' \cdot \sin(U) \) |
3. Règles opératoires
| Opération | Dérivée |
|---|---|
| \( U + V \) | \( U' + V' \) |
| \( U \times V \) | \( U'V + UV' \) |
| \( \dfrac{U}{V} \) | \( \dfrac{U'V - UV'}{V^2} \) |
Dérivabilité en un point
\( f \) est dérivable en \( a \) si et seulement si la limite suivante existe et est finie :
\( \displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) = \ell \in \mathbb{R} \)
Le nombre \( f'(a) \) s'appelle le nombre dérivé de \( f \) en \( a \). Géométriquement, c'est la pente de la tangente à la courbe \( (C_f) \) au point \( A(a, f(a)) \).
Dérivabilité à droite & à gauche
\( f \) est dérivable à droite en \( a \) si :
\( \displaystyle\lim_{x\to a^+} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'_d(a) = \ell \in \mathbb{R} \)
\( f \) est dérivable à gauche en \( a \) si :
\( \displaystyle\lim_{x\to a^-} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'_g(a) = \ell \in \mathbb{R} \)
\( f \) est dérivable en \( a \) \( \iff \) \( f \) est dérivable à droite et à gauche en \( a \), et \( f'_d(a) = f'_g(a) \).
Équation de la tangente
L'équation de la tangente \( (T) \) à la courbe \( (C_f) \) au point d'abscisse \( a \) est :
\( (T) : y = f'(a)(x - a) + f(a) \)
Si \( f'(a) = 0 \), la tangente est horizontale : \( (T) : y = f(a) \).
Interprétation géométrique
1. Si \( f \) est dérivable en \( a \)
| Condition | Interprétation |
|---|---|
| \( \displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = \ell \in \mathbb{R}^* \) | \( (C_f) \) admet une tangente au point \( A(a,f(a)) \) d'équation \( (T): y = f'(a)(x-a) + f(a) \) |
| \( \displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = 0 \) | \( (C_f) \) admet une tangente horizontale au point \( A(a,f(a)) \) |
2. Dérivée à droite / à gauche seulement
| Condition | Interprétation |
|---|---|
| \( f'_d(a) = \ell \in \mathbb{R}^* \) | \( (C_f) \) admet une demi-tangente à droite au point \( A \), d'équation \( y = f'(a)(x-a)+f(a) \) pour \( x \geq a \) |
| \( f'_g(a) = \ell \in \mathbb{R}^* \) | \( (C_f) \) admet une demi-tangente à gauche au point \( A \), d'équation \( y = f'(a)(x-a)+f(a) \) pour \( x \leq a \) |
| \( f'_d(a) = 0 \) | \( (C_f) \) admet une demi-tangente horizontale à droite au point \( A \) |
| \( f'_g(a) = 0 \) | \( (C_f) \) admet une demi-tangente horizontale à gauche au point \( A \) |
3. Si \( f \) n'est pas dérivable en \( a \)
| Condition | Interprétation |
|---|---|
| \( \displaystyle\lim_{x\to a^+} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty \) | \( (C_f) \) admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut au point \( A(a,f(a)) \) |
| \( \displaystyle\lim_{x\to a^-} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = -\infty \) | \( (C_f) \) admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut au point \( A(a,f(a)) \) |
| \( \displaystyle\lim_{x\to a^+} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = -\infty \) | \( (C_f) \) admet une demi-tangente verticale dirigée vers le bas au point \( A(a,f(a)) \) |
| \( \displaystyle\lim_{x\to a^-} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty \) | \( (C_f) \) admet une demi-tangente verticale dirigée vers le bas au point \( A(a,f(a)) \) |
Si \( f \) est dérivable à gauche et à droite en \( a \) mais \( f'_d(a) \neq f'_g(a) \), alors :
- \( (C_f) \) admet deux demi-tangentes au point \( A(a, f(a)) \).
- Le point \( A \) est appelé point anguleux.
Dérivabilité des fonctions usuelles
- Toute fonction polynôme est dérivable sur \( \mathbb{R} \).
- Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle de son domaine de définition.
- La fonction \( \sqrt[n]{x} \) est dérivable sur \( ]0, +\infty[ \) (\( n \in \mathbb{N},\; n \geq 2 \)).
- Les fonctions \( \sin x \) et \( \cos x \) sont dérivables sur \( \mathbb{R} \).
- La fonction \( \tan x \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z} \right\} \).
Opérations sur les fonctions dérivables
Si \( f \) et \( g \) sont dérivables sur \( I \), \( k \in \mathbb{R} \) et \( n \in \mathbb{N} \), alors :
- \( f + g \), \( f \cdot g \), \( k \cdot f \) et \( f^n \) sont dérivables sur \( I \).
Si de plus \( g(x) \neq 0 \) sur \( I \), alors :
- \( \dfrac{f}{g} \) et \( \dfrac{1}{g} \) sont dérivables sur \( I \).
Dérivée d'une fonction réciproque
Si \( f \) est dérivable en \( a \) et \( f'(a) \neq 0 \), alors \( f^{-1} \) est dérivable en \( b = f(a) \) et :
\( (f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)} \)
Si \( f \) est dérivable sur \( I \) et \( f'(x) \neq 0 \) sur \( I \), alors \( f^{-1} \) est dérivable sur \( J = f(I) \) et :
\( (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)} \)
Dérivation & monotonie
Soit \( f \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \) :
| Condition sur \( f'(x) \) | Conclusion sur \( f \) |
|---|---|
| \( f'(x) \geq 0 \) sur \( I \) | \( f \) est croissante sur \( I \) |
| \( f'(x) \leq 0 \) sur \( I \) | \( f \) est décroissante sur \( I \) |
| \( f'(x) = 0 \) sur \( I \) | \( f \) est constante sur \( I \) |
Si \( f'(x) > 0 \) sur \( I \) (sauf éventuellement en des points isolés), alors \( f \) est strictement croissante sur \( I \). De même pour \( f'(x) < 0 \) et strictement décroissante.
Extremums d'une fonction
\( f' \) s'annule en \( a \) et change de signe en \( a \) \( \iff \) \( f \) admet un extremum en \( a \).
Minimum local
Si \( f' \) passe du signe \( - \) au signe \( + \) en \( a \) :
| \( x \) | \( a \) | ||
|---|---|---|---|
| \( f'(x) \) | − | 0 | + |
| \( f \) | ↘ | \( b \) | ↗ |
\( b = f(a) \) est la valeur minimale de la fonction \( f \)
Maximum local
Si \( f' \) passe du signe \( + \) au signe \( - \) en \( a \) :
| \( x \) | \( a \) | ||
|---|---|---|---|
| \( f'(x) \) | + | 0 | − |
| \( f \) | ↗ | \( b \) | ↘ |
\( b = f(a) \) est la valeur maximale de la fonction \( f \)
Branches infinies
1. Asymptote horizontale
Si \( \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = a \), alors la droite \( (\Delta) : y = a \) est une asymptote horizontale à \( (C_f) \) au voisinage de \( \pm\infty \).
\( (\Delta) \) est parallèle à l'axe des abscisses.
2. Asymptote verticale
Si \( \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty \), alors la droite \( (\Delta) : x = a \) est une asymptote verticale à \( (C_f) \).
\( (\Delta) \) est parallèle à l'axe des ordonnées.
3. Asymptote oblique
Si \( \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \), alors la droite \( (D) : y = ax + b \) est une asymptote oblique à \( (C_f) \) au voisinage de \( \pm\infty \).
4. Branches paraboliques
On calcule ensuite \( \displaystyle\lim [f(x) - ax] \) :
- Si \( = b \) → asymptote oblique \( y = ax + b \)
- Si \( = \pm\infty \) → branche parabolique de direction \( y = ax \)
\( (C_f) \) admet une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées.
\( (C_f) \) admet une branche parabolique de direction celle de l'axe des abscisses.
Asymptote horizontale \( y = a \) (pas besoin de calculer \( f(x)/x \)).
Concavité & point d'inflexion
Une fonction est convexe sur un intervalle \( I \) si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
\( \forall x \in I, \quad f''(x) \geq 0 \)
Une fonction est concave sur un intervalle \( I \) si sa courbe est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes.
\( \forall x \in I, \quad f''(x) \leq 0 \)
Un point d'inflexion de la courbe \( (C_f) \) est un point où la courbe change de concavité.
- Si \( f'' \) s'annule en \( x_0 \) et change de signe en \( x_0 \), alors \( (C_f) \) admet un point d'inflexion d'abscisse \( x_0 \).
- Si \( f' \) s'annule en \( x_0 \) sans changer de signe, alors \( (C_f) \) admet un point d'inflexion d'abscisse \( x_0 \). (cas particulier)
| Condition sur \( f''(x) \) | Conclusion |
|---|---|
| \( f''(x) \geq 0 \) | \( (C_f) \) est convexe (courbe au-dessus des tangentes) |
| \( f''(x) \leq 0 \) | \( (C_f) \) est concave (courbe au-dessous des tangentes) |
| \( f'' \) change de signe en \( x_0 \) | Point d'inflexion en \( x_0 \) |