Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \), on considère les points \( A(3,0,2) \), \( B(5,-1,1) \) et \( C(0,2,3) \).

Et l'ensemble \( (S) \) des points \( M(x,y,z) \) tel que \( x^2+y^2+z^2-2x-2z-25=0 \).

1. Montrer que \( (S) \) est une sphère de centre \( \Omega(1,0,1) \) et de rayon \( R = 3\sqrt{3} \).
2. 1. Montrer que \( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k} \), en déduire la surface du triangle \( ABC \).
   2. Montrer que \( x + y + z - 5 = 0 \) est une équation cartésienne du plan \( (ABC) \).
3. Montrer que le point \( H(2,1,2) \) est le projeté orthogonal du point \( \Omega \) sur le plan \( (ABC) \).
4. 1. Montrer que le plan \( (ABC) \) coupe la sphère \( (S) \) selon un cercle \( (\Gamma) \) de rayon \( r = 2\sqrt{6} \).
   2. Déduire le centre du cercle \( (\Gamma) \).

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \), on considère les points \( A(2,4,1) \), \( B(0,2,2) \) et \( C(1,2,1) \).

1. 1. Montrer que les points \( A \), \( B \) et \( C \) ne sont pas alignés.
   2. Montrer que \( \vec{n}(2,-1,2) \) est un vecteur normal au plan \( (ABC) \).
   3. Montrer que l'équation cartésienne du plan \( (ABC) \) est \( 2x - y + 2z - 2 = 0 \).
2. Soit \( (S) \) la sphère de centre \( \Omega(-1,0,-1) \) et de rayon \( R = 2 \).
   1. Montrer qu'une équation cartésienne de \( (S) \) s'écrit : \( x^2+y^2+z^2+2x+2z-2=0 \).
   2. Montrer que le plan \( (ABC) \) est tangent à \( (S) \).
3. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite \( (D) \) passant par \( \Omega \) et orthogonale au plan \( (ABC) \).
   2. Déterminer les coordonnées de \( H \) le point de tangence de \( (ABC) \) et \( (S) \).

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \), on considère les points \( A(0,1,1) \), \( B(1,2,0) \) et \( C(-1,1,2) \).

1. 1. Montrer que \( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} + \vec{k} \).
   2. En déduire que \( x + z - 1 = 0 \) est une équation cartésienne du plan \( (ABC) \).
2. Soit \( (S) \) la sphère de centre \( \Omega(1,1,2) \) et de rayon \( R = \sqrt{2} \). Déterminer une équation de la sphère \( (S) \).
3. Montrer que le plan \( (ABC) \) est tangent à la sphère \( (S) \) au point \( A \).
4. On considère la droite \( (\Delta) \) passant par le point \( C \) et perpendiculaire au plan \( (ABC) \).
   1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \( (\Delta) \).
   2. Montrer que la droite \( (\Delta) \) est tangente à la sphère \( (S) \) en un point \( D \) dont on déterminera les coordonnées.
   3. Calculer le produit scalaire \( \overrightarrow{AC} \cdot (\vec{i} + \vec{k}) \), puis en déduire la distance \( d(A, (\Delta)) \).

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \), on considère les points \( A(2,1,2) \), \( B(-2,0,5) \), \( C(4,-5,7) \) et \( \Omega(1,-1,0) \). On pose \( \vec{u} = \overrightarrow{\Omega A} \). Soit \( (S) \) la sphère de centre \( \Omega \) et de rayon \( R = 3 \).

1. 1. Montrer que \( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 13\vec{u} \) et déduire que les points \( A \), \( B \) et \( C \) ne sont pas alignés.
   2. Vérifier que \( x + 2y + 2z - 8 = 0 \) est une équation cartésienne du plan \( (ABC) \).
   3. Montrer que le plan \( (ABC) \) est tangent à la sphère \( (S) \) au point \( A \).
2. Soient \( (P) \) le plan d'équation cartésienne \( 3x + 4y + z + 1 = 0 \) et \( (\Delta) \) la droite passant par le point \( A \) et orthogonale au plan \( (P) \).
   1. Montrer que la droite \( (\Delta) \) coupe le plan \( (P) \) au point \( H\!\left(\dfrac{1}{2}, -1, \dfrac{3}{2}\right) \).
   2. Déterminer les coordonnées du point \( D \) tel que le point \( H \) soit milieu du segment \( [AD] \).
3. Soit \( (Q) \) le plan passant par le point \( D \) et de vecteur normal \( \overrightarrow{\Omega D} \).
   1. Montrer que le plan \( (Q) \) est tangent à la sphère \( (S) \) en \( D \).
   2. Montrer que les plans \( (Q) \) et \( (ABC) \) se coupent suivant la droite \( (BC) \).

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \), on considère les points \( A(0,0,2) \), \( B(2,0,0) \) et la sphère \( (S) \) de centre \( O \) et de rayon \( R = 2 \).

1. 1. Déterminer l'équation cartésienne de la sphère \( (S) \).
   2. Vérifier que les points \( A \) et \( B \) appartiennent à la sphère \( (S) \).
2. Soit \( I \) le milieu du segment \( [AB] \).
   1. Déterminer l'intersection du plan \( (OAB) \) avec la sphère \( (S) \).
   2. Vérifier que \( \overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \) puis montrer que \( d(O, (AB)) = \sqrt{2} \).
3. On considère un point \( M(0, m, 0) \) de l'espace, où \( m \in \mathbb{R} \).
   1. Vérifier que \( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AM} = 2m\vec{i} + 4\vec{j} + 2m\vec{k} \).
   2. Déduire que \( mx + 2y + mz - 2m = 0 \) est une équation cartésienne du plan \( (ABM) \).
   3. Montrer que \( d(O, (ABM)) = \dfrac{2|m|}{\sqrt{4+2m^2}} \).
4. Le plan \( (ABM) \) coupe la sphère \( (S) \) suivant un cercle \( (\Gamma_m) \) de rayon \( r \).

   Montrer que \( r = \sqrt{2 + \dfrac{4}{2+m^2}} \) et déduire que \( \sqrt{2} < r \leq 2 \), pour tout \( m \in \mathbb{R} \).