Section I

Vecteurs, norme & distance

Repère et coordonnées

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). Tout point \(M\) admet des coordonnées \((x,y,z)\). Tout vecteur \(\vec{u}\) s'écrit \(\vec{u}(a,b,c)\).

Vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Si \(A(x_A,y_A,z_A)\) et \(B(x_B,y_B,z_B)\) :

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}\)

Opérations fondamentales

Norme : \(\|\vec{u}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Somme : \(\vec{u}+\vec{v}=(a+a',\;b+b',\;c+c')\)
Produit par un scalaire : \(k\cdot\vec{u}=(ka,\;kb,\;kc)\)

Distance

\(AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)

Milieu

\(I=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\;\dfrac{y_A+y_B}{2},\;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\)

Colinéarité et orthogonalité

\(\vec{u}\parallel\vec{v}\iff\exists k:\vec{v}=k\vec{u}\)
\(\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)

Section II

Produit scalaire

Définition

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=aa'+bb'+cc'=\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot\cos\theta\)

Identités remarquables

\(\|\vec{u}\|^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=a^2+b^2+c^2\)
\((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\)
\(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2\)

Triangle rectangle

Si \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\), alors le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).

Section III

Produit vectoriel

Définition

\(\vec{u}\wedge\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a&b&c\\a'&b'&c'\end{vmatrix}=\begin{pmatrix}bc'-cb'\\ca'-ac'\\ab'-ba'\end{pmatrix}\)

Propriétés

\(\vec{u}\wedge\vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\)
\(\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}\iff\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires
\(\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot\sin\theta\)
\(\vec{u}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{u}\) (anti-commutatif)

Vecteur normal à un plan

Si \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés, alors \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\).

Section IV

Droite dans l'espace

Représentation paramétrique

La droite \((D)\) passant par \(A(x_A,y_A,z_A)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(a,b,c)\) :

\(\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}\)

Distance d'un point à une droite

\(d(M,(D))=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}\)

Section V

Plan dans l'espace

Équation cartésienne

Le plan \((P)\) de vecteur normal \(\vec{n}(a,b,c)\) :

\((P):ax+by+cz+d=0\)

Plan passant par un point

\(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\)

Distance d'un point à un plan

\(d(\Omega,(P))=\dfrac{|ax_\Omega+by_\Omega+cz_\Omega+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

Exemple

Distance de \(A(1,2,-1)\) au plan \(2x-y+2z+3=0\) : \(d=\frac{|2-2-2+3|}{3}=\frac{1}{3}\).

Section VI

Sphère

Équation cartésienne

La sphère \((S)\) de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R\) :

\((S):(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)

Sphère de diamètre \([AB]\)

On utilise l'équivalence :

\(M\in(S)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0\)

Section VII

Intersections

1. Intersection sphère / plan

Méthode

Soit \(H\) le projeté orthogonal du centre \(\Omega\) sur le plan \((P)\). On pose \(d=\Omega H=d(\Omega,(P))\).

Condition	Résultat
\(d < R\)	\((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle de centre \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\)
\(d = R\)	\((P)\) est tangent à \((S)\) en \(H\)
\(d > R\)	\((P)\) ne coupe pas \((S)\)

Plan tangent à une sphère en \(A\)

Méthode 1 : \(M(x,y,z)\in(P)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{A\Omega}=0\)
Méthode 2 : \(\overrightarrow{A\Omega}\) est un vecteur normal au plan tangent \((P)\)

2. Intersection sphère / droite

Méthode

Soit \(H\) le projeté orthogonal du centre \(\Omega\) sur la droite \((D)\). On pose \(d=\Omega H=d(\Omega,(D))\).

Condition	Résultat
\(d < R\)	\((D)\) coupe \((S)\) en deux points distincts
\(d = R\)	\((D)\) est tangente à \((S)\) en \(H\)
\(d > R\)	\((D)\) ne coupe pas \((S)\)

Section VIII

Aires (triangle & parallélogramme)

Aire d'un triangle

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\)

Aire d'un parallélogramme

\(S_{ABCD}=\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\)