Opérations sur les limites
1. Limite de la somme de deux fonctions
| \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) \) | \( \ell \) | \( \ell \) | \( \ell \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( +\infty \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} g(x) \) | \( \ell' \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) |
| \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} [f(x)+g(x)] \) | \( \ell+\ell' \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | F.I. | \( -\infty \) | \( +\infty \) | F.I. |
2. Limite du produit de deux fonctions
| \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) \) | \( \ell \) | \( \ell > 0 \) | \( \ell < 0 \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( 0 \) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} g(x) \) | \( \ell' \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( \pm\infty \) |
| \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} [f(x)\times g(x)] \) | \( \ell\times\ell' \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( +\infty \) | F.I. |
3. Limite du quotient de deux fonctions
| \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) \) | \( \ell \) | \( \ell \) | \( \ell > 0 \) | \( \ell < 0 \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( +\infty \) | \( 0 \) | \( \pm\infty \) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} g(x) \) | \( \ell'\neq 0 \) | \( \pm\infty \) | \( 0^+ \) | \( 0^- \) | \( 0^+ \) | \( 0^- \) | \( 0^+ \) | \( 0^- \) | \( 0^+ \) | \( 0^- \) | \( 0 \) | \( \pm\infty \) |
| \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) | \( \dfrac{\ell}{\ell'} \) | \( 0 \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | F.I. | F.I. |
Formes indéterminées
Les formes suivantes ne permettent pas de conclure directement sur la limite. Il faut lever l'indétermination :
Pour lever ces formes indéterminées, on utilise les techniques présentées dans la section IV — Astuces des limites.
Limites & ordre
Si \( u(x) \leq f(x) \leq v(x) \) et \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} u(x) = \lim_{x\to x_0} v(x) = \ell \), alors :
\( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = \ell \)
Si \( |f(x) - \ell| \leq u(x) \) et \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} u(x) = 0 \), alors :
\( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = \ell \)
Si \( f(x) \leq v(x) \) et \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} v(x) = -\infty \), alors :
\( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = -\infty \)
Si \( u(x) \leq f(x) \) et \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} u(x) = +\infty \), alors :
\( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = +\infty \)
Astuces des limites
1. Fonctions rationnelles
On factorise le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de \( x \).
\( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2\!\left(3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\!\left(2 + \frac{5}{x^2}\right)} = \frac{3}{2} \)
Si \( f(a) = 0 \) et \( g(a) = 0 \), on factorise le numérateur et le dénominateur par \( (x - a) \) pour simplifier.
\( \displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2 \)
2. Fonctions avec racines
Si la somme des coefficients des plus hauts degrés est égale à 0 : on multiplie par le conjugué.
Si la somme est différente de 0 : on factorise par le plus haut degré.
\( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x} - x\right) \)
Les coefficients : \(\sqrt{1} - 1 = 0\), donc on multiplie par le conjugué :
\( = \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{(x^2+x) - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{1}{2} \)
\( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{4x^2+1} - x\right) \)
Les coefficients : \(\sqrt{4} - 1 = 1 \neq 0\), donc on factorise par \(x\) :
\( = \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x\!\left(\sqrt{4+\frac{1}{x^2}} - 1\right) = +\infty \)
Lorsque la racine donne une forme \( \frac{0}{0} \), on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de l'expression contenant la racine.
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{2} \)
Continuité
1. Continuité en un point
\( f \) est continue au point \( x_0 \) si et seulement si : \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) \)
\( f \) est continue à droite de \( x_0 \) si : \( \displaystyle\lim_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0) \)
\( f \) est continue à gauche de \( x_0 \) si : \( \displaystyle\lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0) \)
\( f \) est continue au point \( x_0 \) si et seulement si \( f \) est continue à droite et à gauche de \( x_0 \).
2. Continuité sur un intervalle
- \( f \) est continue sur un intervalle ouvert \( I = \,]a,b[\, \) si \( f \) est continue en tout point \( x \) de \( I \).
- \( f \) est continue sur \( [a,b] \iff f \) est continue sur \( ]a,b[ \), continue à droite de \( a \) et continue à gauche de \( b \).
- \( f \) est continue sur \( ]a,b] \iff f \) est continue sur \( ]a,b[ \) et continue à gauche de \( b \).
- \( f \) est continue sur \( [a,b[ \iff f \) est continue sur \( ]a,b[ \) et continue à droite de \( a \).
3. Opérations sur les fonctions continues
Si \( f \) et \( g \) sont continues sur \( I \) et \( \alpha \in \mathbb{R} \), alors :
- \( f + g \), \( f \times g \) et \( \alpha f \) sont continues sur \( I \).
- \( \dfrac{1}{g} \) et \( \dfrac{f}{g} \) sont continues sur \( I \) (pour tout \( x \in I \) tel que \( g(x) \neq 0 \)).
4. Fonctions continues usuelles
- Toute fonction polynôme est continue sur \( D_f = \mathbb{R} \).
- Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition \( D_f \).
- \( f(x) = \sin x \) et \( g(x) = \cos x \) sont continues sur \( \mathbb{R} \).
- \( x \mapsto \tan x \) est continue sur \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z} \right\} \).
- \( f(x) = \sqrt{x} \) est continue sur \( [0, +\infty[ \).
5. Image d'un intervalle par une fonction continue
- L'image du segment \( [a,b] \) par une fonction continue est un segment \( J = [m, M] \) (avec \( m \) = plus petite image, \( M \) = plus grande image).
- L'image d'un intervalle \( I \) par une fonction continue est un intervalle \( J \). On note \( J = f(I) \).
- \( f([a,b]) = [f(a),\, f(b)] \)
- \( f(]a,b[) = \,]\!\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x),\, \lim_{x\to b^-} f(x)[ \)
- \( f([a,b[) = [f(a),\, \displaystyle\lim_{x\to b^-} f(x)[ \)
- \( f(]a,+\infty[) = \,]\!\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x),\, \lim_{x\to+\infty} f(x)[ \)
- \( f([a,b]) = [f(b),\, f(a)] \)
- \( f(]a,b[) = \,]\!\displaystyle\lim_{x\to b^-} f(x),\, \lim_{x\to a^+} f(x)[ \)
- \( f([a,b[) = \,]\!\displaystyle\lim_{x\to b^-} f(x),\, f(a)] \)
- \( f(]a,+\infty[) = \,]\!\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x),\, \lim_{x\to a^+} f(x)[ \)
6. Continuité de la composée
- Si \( f \) est continue en \( x_0 \) et \( g \) est continue en \( f(x_0) \), alors \( g \circ f \) est continue en \( x_0 \).
- Si \( f \) est continue sur \( I \) et \( g \) est continue sur \( f(I) \), alors \( g \circ f \) est continue sur \( I \).
- \( f(x) = \sin(ax+b) \) et \( g(x) = \cos(ax+b) \) sont continues sur \( \mathbb{R} \).
- \( h(x) = \tan(ax+b) \) est continue pour tout \( x \) tel que \( ax+b \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \).
- Si \( f \) est positive et continue sur \( I \), alors \( h(x) = \sqrt{f(x)} \) est continue sur \( I \).
Théorème des valeurs intermédiaires — TVI
Soit \( f \) une fonction définie sur \( [a,b] \). On considère les trois conditions suivantes :
Condition 1 : \( f \) est continue sur \( [a,b] \).
Condition 2 : \( f \) est strictement monotone sur \( ]a,b[ \).
Condition 3 : \( f(a) \times f(b) < 0 \) (c'est-à-dire \( f(a) \) et \( f(b) \) sont de signes contraires).
Si \( f \) est continue sur \( [a,b] \) et strictement monotone sur \( ]a,b[ \), alors :
- \( f \) réalise une bijection de \( [a,b] \) vers \( J = f([a,b]) \).
- \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) définie sur \( J \).
Si \( f \) est continue sur \( [a,b] \) et \( f(a) \times f(b) < 0 \), alors :
L'équation \( f(x) = 0 \) admet au moins une solution \( c \in \,]a,b[ \) tel que \( f(c) = 0 \).
C'est le théorème de Bolzano : la fonction change de signe, donc elle passe par zéro.
Si \( f \) est continue sur \( [a,b] \), strictement monotone sur \( ]a,b[ \) et \( f(a) \times f(b) < 0 \), alors :
L'équation \( f(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \in \,]a,b[ \) tel que \( f(\alpha) = 0 \).
- Pour montrer l'existence d'au moins une solution : vérifier que \( f \) est continue et que \( f(a) \times f(b) < 0 \). (Conditions 1 + 3)
- Pour montrer l'existence et l'unicité : vérifier en plus que \( f \) est strictement monotone. (Conditions 1 + 2 + 3)
- Attention : ne pas oublier de vérifier la continuité ! C'est une condition indispensable dans tous les cas.
Le TVI ne s'applique pas uniquement à l'équation \( f(x) = 0 \). De manière générale :
Si \( f \) est continue sur \( [a,b] \), alors pour tout \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe au moins un \( c \in [a,b] \) tel que \( f(c) = k \).
En pratique, pour résoudre \( f(x) = k \), on pose \( g(x) = f(x) - k \) et on applique le TVI à \( g \) :
- Vérifier que \( g \) est continue sur \( [a,b] \).
- Calculer \( g(a) = f(a) - k \) et \( g(b) = f(b) - k \), puis vérifier que \( g(a) \times g(b) < 0 \).
- Si en plus \( g \) (donc \( f \)) est strictement monotone, la solution est unique.
Fonction réciproque, racine d'ordre n & puissance rationnelle
1. Fonction réciproque
Si \( f : I \to J \) est une bijection (continue et strictement monotone), alors il existe une fonction \( f^{-1} : J \to I \) appelée fonction réciproque de \( f \), telle que :
\( f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x \)
- \( \forall\, x \in I : f^{-1}\!\big(f(x)\big) = x \)
- \( \forall\, y \in J : f\!\big(f^{-1}(y)\big) = y \)
- \( f^{-1} \) est continue sur \( J = f(I) \).
- \( f^{-1} \) et \( f \) varient dans le même sens.
- Les courbes \( (C_f) \) et \( (C_{f^{-1}}) \) sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice \( (D) : y = x \).
2. Fonction racine d'ordre n
La fonction réciproque de \( f(x) = x^n \) (avec \( n \in \mathbb{N}^* \)) est notée \( f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x} = x^{1/n} \) et appelée fonction racine d'ordre n.
\( f^{-1} = \sqrt[n]{\cdot} : [0,+\infty[ \to [0,+\infty[ \)
- \( n = 1 \) : \( f^{-1}(x) = \sqrt[1]{x} = x \) (sans importance).
- \( n = 2 \) : \( f^{-1}(x) = \sqrt[2]{x} = \sqrt{x} \) (racine carrée).
- \( n = 3 \) : \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} \) (racine cubique).
- \( \sqrt[n]{1} = 1 \;;\quad \sqrt[n]{0} = 0 \;;\quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \;;\quad \sqrt[n]{a^n} = a \)
- \( \sqrt[n]{a} = b \iff a = b^n \;;\quad \sqrt[n]{a} \leq b \iff a \leq b^n \)
- \( \sqrt[n]{a}\;\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \;;\quad \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} \quad (b > 0) \)
- \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty \;;\quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m} \)
Si \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = +\infty \), alors \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = +\infty \).
Si \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = \ell \), alors \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\ell} \).
3. Puissance rationnelle d'un nombre positif
Pour \( x \in \mathbb{R}^{+*} \), \( n \in \mathbb{N}^* \) et \( m \in \mathbb{Z} \), on pose \( r = \dfrac{m}{n} \in \mathbb{Q} \) :
\( \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} = x^r \)
\( x^r \) est appelée puissance rationnelle du réel positif \( x \) d'exposant \( r \).
(Convention : \( 0^r = 0 \) avec \( r \neq 0 \).)
- \( a^r \times a^{r'} = a^{r+r'} \)
- \( \dfrac{a^r}{a^{r'}} = a^{r-r'} \)
- \( (a^r)^{r'} = a^{r \times r'} \)
- \( a^r \times b^r = (a \times b)^r \)
- \( \dfrac{a^r}{b^r} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^r \)
- \( a^{-r} = \dfrac{1}{a^r} \)